La géométrie, un modèle pour la pensée rationnelle ?

La géométrie et la pensée rationnelle

Un triangle tracé sur une feuille peut sembler avoir deux côtés égaux. Mesurer ces côtés permet de contrôler le dessin, avec la précision disponible. Démontrer leur égalité répond à une autre question : quelles propriétés imposent cette égalité, indépendamment des imperfections du tracé ? La géométrie fournit à la pensée rationnelle un exemple de cette distinction entre constater et prouver. Sa méthode a aussi intéressé Baruch Spinoza, dont la conception de la substance s’accompagne d’une exigence de démonstration des rapports entre les choses.

Dans les Éléments, le mathématicien grec Euclide distingue les définitions, les postulats et les notions communes. Une définition précise de quel objet on parle. Un postulat autorise certaines opérations ou pose une propriété géométrique. Une notion commune formule une règle générale concernant les grandeurs, par exemple l’égalité de deux grandeurs égales à une même troisième. Les présentations modernes regroupent souvent ces principes admis sous le terme d’axiomes.

Le premier postulat demande de pouvoir tracer une ligne droite d’un point à un autre. Il a donc une dimension constructive. L’unicité de cette droite, que deux points distincts déterminent, sera formulée à part par les axiomatiques ultérieures. Dire exactement ce qui est admis évite de glisser une hypothèse supplémentaire dans une démonstration.

Cette organisation permet de vérifier de quoi dépend un résultat. Si une étape semble contestable, le lecteur peut demander quelle définition, quel principe ou quel théorème antérieur la justifie. La preuve devient ainsi un raisonnement que d’autres peuvent examiner. Son autorité vient des raisons données à chaque étape.

Une figure peut aider sans suffire à prouver

Euclide construit un triangle équilatéral à partir d’un segment. Il trace deux cercles de même rayon, chacun ayant pour centre une extrémité du segment. En reliant un point d’intersection des cercles aux deux extrémités, il obtient les autres côtés du triangle. Ceux-ci ont la longueur du segment initial parce qu’ils sont des rayons des cercles construits. L’égalité des trois côtés résulte donc des propriétés employées, non d’une impression de symétrie.

Le dessin permet de découvrir cette construction et de suivre les relations entre les points. Mais il peut aussi faire admettre trop vite une propriété. Dans cet exemple, les cercles se coupent sur la figure. David E. Joyce, qui a publié en ligne une édition commentée des Éléments, relève que l’existence de ce point n’est pas justifiée : il faudrait un postulat supplémentaire, par exemple que deux cercles se coupent quand la somme de leurs rayons dépasse la distance de leurs centres. Il existe même des modèles de géométrie où ces cercles ne se coupent pas. La géométrie classique est donc un modèle de démonstration dont les présupposés ont eux-mêmes demandé un travail critique.

Cette différence entre aide visuelle et justification concerne aussi les schémas utilisés hors des mathématiques. Des cercles représentant des catégories peuvent faciliter la lecture d’un raisonnement. Dans un diagramme de Venn, leur rôle est de représenter des relations entre classes. Le raisonnement reste alors logique : il faut examiner les conventions du schéma et les informations qu’il contient.

Lorsqu’on cherche une preuve, essayer plusieurs figures ou ajouter une ligne peut faire découvrir une relation utile. Mais la découverte et la justification restent deux opérations différentes. Une idée suggérée par un dessin doit ensuite être contrôlée. Cette exigence donne des moyens précis de chercher l’erreur et d’expliquer pourquoi un argument doit être corrigé.

Descartes associe les figures aux équations

Dans La Géométrie, publiée en 1637, le philosophe et mathématicien français René Descartes développe des méthodes qui associent les constructions géométriques au calcul algébrique. Des longueurs inconnues peuvent être désignées par des lettres, puis reliées dans des équations. Chercher une figure satisfaisant certaines conditions devient alors aussi un problème de calcul. Cette démarche modifie les moyens de résoudre les problèmes, et les opérations restent à justifier.

Une équation permet de décrire les rapports entre les points d’une courbe. Le géomètre peut ainsi étudier des propriétés que la seule inspection du dessin ne permettrait pas d’établir. Il doit toutefois vérifier que les solutions calculées répondent aux conditions géométriques initiales. Une manipulation correcte des symboles ne dispense pas d’expliquer ce qu’ils représentent ni de contrôler les restrictions imposées par le problème.

La géométrie analytique illustre cette coopération entre plusieurs méthodes mathématiques. Elle montre qu’on peut reformuler un problème dans un langage où certaines relations deviennent plus faciles à étudier, puis revenir au problème initial pour interpréter les résultats.

Le calcul différentiel et intégral, développé notamment par le savant anglais Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, fournit d’autres moyens d’étudier les courbes, leurs tangentes ou les aires. Ces travaux relèvent de l’analyse mathématique et entretiennent des rapports étroits avec la géométrie. Des méthodes distinctes peuvent ainsi traiter un même problème et contrôler réciproquement leurs résultats.

Spinoza applique la démonstration à la philosophie

Dans l’Éthique, Spinoza présente des définitions, des axiomes, des propositions et des démonstrations. Il cherche à expliquer les choses à partir de leurs causes et des rapports nécessaires qui les unissent. La substance est, dans son vocabulaire, ce qui est en soi et se conçoit par soi ; les modes sont les modifications de cette substance. Ces définitions permettent de comprendre ce que ses raisonnements affirment et ce qu’ils excluent.

L’ordre géométrique organise les dépendances entre des affirmations. Pour comprendre une proposition, il faut parfois revenir à un principe antérieur dont elle dépend. Le lecteur peut contester une définition, un axiome ou une déduction déterminée au lieu d’accepter ou de refuser indistinctement l’ensemble de la doctrine.

Spinoza étend cette démarche aux désirs et aux passions. Il refuse de traiter les conduites humaines en exceptions aux lois de la nature. La colère ou la haine ont des causes qu’il faut connaître, plutôt que de s’en tenir à la réprobation. La référence aux figures géométriques exprime ici une exigence d’explication : les affects doivent pouvoir être étudiés sans que le blâme remplace la recherche de leurs conditions.

Une démonstration dépend toutefois des principes admis et du sens des termes. La forme déductive permet d’exposer ces engagements intellectuels, et les désaccords sur la substance, la causalité ou la connaissance portent alors sur des points précis. Lire rationnellement Spinoza exige donc d’examiner chacun de ses arguments.

Examiner les axiomes et leurs applications

Les géométries non euclidiennes montrent qu’un principe familier peut être modifié sans abandonner le raisonnement déductif. Le postulat des parallèles constitue ici un cas central. Dans les Fondements de la géométrie, publiés en 1899, le mathématicien allemand David Hilbert étudie les relations entre groupes d’axiomes et leur indépendance. Un principe est indépendant des autres lorsqu’il ne peut pas être déduit d’eux. Son évidence apparente ne remplace donc pas l’examen de son rôle exact.

Il examine aussi la compatibilité de ces axiomes, c’est-à-dire l’absence de contradiction entre eux. E. R. Hedrick, de l’université Yale, dans une recension parue en 1902 dans le Bulletin of the American Mathematical Society, souligne l’importance de ce travail pour la géométrie non euclidienne. La rigueur suppose de contrôler la cohérence des hypothèses et les conséquences de leur modification.

Appliquer une géométrie à une situation concrète demande encore une vérification différente. Si l’on prépare l’aménagement d’une pièce, un plan à l’échelle aide à comparer les dimensions des meubles et les passages disponibles. Mais le calcul dépend de mesures et de simplifications. Un mur irrégulier ou une porte dont on a oublié le débattement peut invalider un projet pourtant correct sur le papier.

La méthode géométrique aide alors à distinguer trois questions : les données décrivent-elles convenablement la situation, les règles choisies conviennent-elles au problème, le résultat découle-t-il correctement de ces règles ? Son apport à la rationalité vient autant de la précision de ses preuves que de la possibilité d’identifier ce qu’elles permettent réellement d’affirmer.

Références

• Euclide, Éléments, traduction et commentaires de David E. Joyce.
• René Descartes, La Géométrie, 1637.
• Baruch Spinoza, Éthique, 1677, traduction anglaise de R. H. M. Elwes.
• David Hilbert, Les Fondements de la géométrie, 1899, traduction anglaise d’E. J. Townsend.
• Sun-Joo Shin, Oliver Lemon et John Mumma, Diagrams and Diagrammatical Reasoning, Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• J. J. O’Connor et E. F. Robertson, A history of the calculus, MacTutor History of Mathematics.