Probabilité et rationalité, comment penser l'incertitude ?

Décider sans connaître l’avenir

Il fait beau, mais la météo annonce de la pluie : faut-il emporter un parapluie ? Une décision peut avoir des conséquences que nous ne connaissons pas avec certitude. À partir du XVIIe siècle, le calcul des probabilités donne des moyens nouveaux de raisonner dans ces situations. La théorie de la décision étudie ensuite le choix entre des résultats incertains, tandis que la théorie de l’information mesure l’incertitude d’une source de messages. Comment ces méthodes permettent-elles d’agir sans attendre une connaissance complète ?

Les fondements du calcul des probabilités

La naissance d’une mathématique du hasard

L’année 1654 marque un tournant dans l’histoire de la pensée rationnelle. Blaise Pascal et Pierre de Fermat, mathématiciens français, échangent une correspondance autour du problème des partis, question discutée avec le chevalier de Méré, homme de lettres français amateur de jeux, concernant le partage équitable des mises lors d’une partie de jeu interrompue.

Le problème porte sur une partie qui n’ira pas à son terme : comment répartir la mise selon les chances de victoire de chacun ? Pascal et Fermat comparent les issues encore possibles, plutôt que de prétendre prédire laquelle se réalisera. Dans sa lettre du 29 juillet 1654, Pascal écrit à Fermat : « Je ne doute plus maintenant que je ne sois dans la vérité, après la rencontre admirable où je me trouve avec vous. » Pour les deux mathématiciens, la convergence de méthodes distinctes confirme la légitimité du nouveau domaine.

L’apport de Pascal dépasse en réalité le cadre mathématique. Indépendamment de cette correspondance, dans le célèbre argument du pari de Pascal que contiennent les Pensées, il applique le raisonnement probabiliste à la question de l’existence divine. L’enjeu n’est plus de savoir si Dieu existe, mais comment il est rationnel d’agir face à cette incertitude.

Si l’on mise sur l’existence de Dieu et qu’Il existe, le gain est infini, « une infinité de vie infiniment heureuse » ; si Dieu n’existe pas, on n’a engagé qu’un bien fini. Pascal reste plus discret sur le sort de celui qui parie contre un Dieu existant, et les commentateurs jugent cette perte tantôt finie, tantôt infinie. Face à cette asymétrie, Pascal conclut qu’il faut parier pour Dieu si l’on lui attribue une probabilité positive, même très faible, dans le calcul ordinaire des probabilités. Ce résultat dépend des gains et pertes retenus dans l’argument.

L’argument suscite des objections nombreuses, mais il illustre un mode de pensée décisionnel : la rationalité ne consiste plus seulement à connaître le vrai, mais aussi à agir avec prudence face à l’inconnu.

Laplace et la raison probabiliste

Pierre-Simon de Laplace, mathématicien et astronome français, systématise le calcul des probabilités dans son Essai philosophique sur les probabilités, publié en 1814. Sa définition classique demeure célèbre : la probabilité d’un événement est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total de cas également possibles. Cette formulation apparemment simple masque une véritable audace philosophique : Laplace affirme que l’univers entier obéit à un déterminisme strict, c’est-à-dire que chaque état du monde découle nécessairement de l’état précédent selon des lois. L’état présent de l’univers résulte de l’état antérieur et détermine celui qui suivra. Une intelligence qui connaîtrait toutes les forces de la nature et la position de tous les éléments pourrait donc, par le calcul, déduire l’avenir et reconstituer le passé avec une précision absolue.

Le démon de Laplace, comme on l’appellera, pose une question fondamentale : si tout est déterminé, pourquoi parler de probabilité ? La réponse de Laplace est limpide : la probabilité mesure notre ignorance, et non l’indétermination de la nature. Selon lui, « la probabilité est relative en partie à cette ignorance, en partie à nos connaissances ». Le hasard n’est qu’apparent ; il résulte des limites de notre perception et de notre capacité calculatoire.

Cette conception fait des probabilités un instrument d’approximation de la vérité, un moyen de raisonner rationnellement malgré les limites de nos connaissances et de nos capacités de calcul.

Laplace développe également le théorème de Bayes, qui porte le nom de Thomas Bayes, mathématicien et pasteur britannique du XVIIIe siècle dont un mémoire est publié à titre posthume en 1763.

La décision rationnelle face à l’incertain

Thomas Bayes et l’inférence probabiliste

Le théorème de Bayes établit une relation entre les probabilités conditionnelles qui permet d’actualiser nos croyances à la lumière de nouvelles observations.

Si l’on connaît la probabilité initiale d’une hypothèse A, la probabilité d’observer B lorsque A est vraie, et la probabilité globale d’observer B, supposée non nulle, on peut calculer la probabilité de A après avoir observé B. Cette formule mathématique s’avère d’une portée philosophique considérable : elle formalise l’apprentissage par l’expérience.

L’approche bayésienne a ensuite été associée, au XXe siècle, à la notion de probabilité subjective, développée notamment par Frank Ramsey, philosophe et mathématicien britannique, Bruno de Finetti, mathématicien italien, et Leonard Savage, statisticien américain. Contrairement à la conception fréquentiste qui définit la probabilité par la fréquence relative d’un événement sur un grand nombre d’essais, les bayésiens subjectivistes interprètent la probabilité comme un degré de croyance.

Cette interprétation ouvre la voie à une épistémologie (une théorie de la connaissance) probabiliste : nos degrés de croyance peuvent être révisés à mesure que de nouvelles données deviennent disponibles.

Ainsi, en médecine, un diagnostic initial repose sur des probabilités a priori, par exemple la prévalence d’une maladie dans la population. Un test qu’on pratique et qui revient positif modifie les résultats selon la sensibilité et la spécificité du test, produisant une probabilité a posteriori. Sa pertinence dépend du modèle, de la population considérée et de la qualité des données.

La théorie de la décision

Daniel Bernoulli, mathématicien et physicien suisse du XVIIIe siècle, approfondit la dimension décisionnelle du raisonnement probabiliste. Face au paradoxe de Saint-Pétersbourg, dans lequel un jeu offre théoriquement une espérance de gain infinie mais où on accepte généralement de miser une somme limitée pour y participer, Bernoulli propose de distinguer la valeur monétaire de l’utilité. Ce n’est pas l’argent en soi qui compte, mais l’utilité qu’il procure. Dans le modèle de Bernoulli, chaque supplément de richesse apporte un gain d’utilité plus faible. Avec une utilité logarithmique, l’espérance d’utilité de ce jeu devient finie malgré son espérance monétaire infinie. Ce résultat dépend du choix de la fonction d’utilité.

La théorie moderne de la décision, formalisée au XXe siècle, généralise ces concepts. Elle pose que l’agent rationnel doit maximiser son espérance d’utilité : face à plusieurs options dont les résultats sont incertains, il convient de choisir celle qui offre, en moyenne pondérée par les probabilités, la plus grande utilité. Celle-ci représente les préférences de l’agent, et pas nécessairement son plaisir. Ce principe propose un modèle normatif de décision, distinct de la psychologie réelle des agents. Il fournit un étalon pour mesurer les écarts entre nos choix et les exigences du modèle.

De l’information à l’incertitude quantifiée

Claude Shannon et la mesure de l’information

En 1948, Claude Shannon, mathématicien et ingénieur américain, publie un article fondateur, « A Mathematical Theory of Communication », qui établit les bases de la théorie de l’information. Son objectif initial était technique : déterminer comment transmettre efficacement des messages à travers un canal. Sa solution passe par la quantification de l’information elle-même. Shannon définit une mesure qu’il appelle entropie, par analogie avec la thermodynamique, qui exprime le degré d’incertitude associé à une source de messages.

Pour un ensemble fini fixé de messages, l’entropie est maximale lorsqu’ils sont équiprobables. C’est l’information moyenne qui est alors maximale ; un message rare peut, lui, apporter davantage d’information que chacun des messages équiprobables. À l’inverse, si une source émet toujours le même symbole, l’entropie est nulle : aucune information nouvelle n’est transmise. Shannon démontre que cette entropie fixe une limite théorique à la compression des données. Pour une source de symboles indépendants, l’entropie donne la limite du nombre moyen de bits par symbole d’un codage sans perte : certains messages peuvent être plus courts, à condition que d’autres soient plus longs.

La formule de Shannon présente une similarité frappante avec celle de Ludwig Boltzmann, physicien autrichien du XIXe siècle, en physique statistique. Cette convergence ne relève pas du hasard : les deux mesurent, chacune dans leur domaine, une forme d’indétermination. L’information, au sens de Shannon, ne concerne pas la signification des messages, mais leur imprévisibilité. Plus un événement est improbable, plus son occurrence apporte d’information. Un message certain n’apporte aucune information en ce sens ; un message seulement probable en apporte peu.

Aléatoire et complexité

Andreï Kolmogorov, mathématicien soviétique, dans les années 1960, propose une approche complémentaire de l’aléatoire par la complexité algorithmique. Pour une suite finie, la complexité correspond à la longueur du plus court programme qui la produit, dans un langage de programmation fixé. Une suite est dite incompressible lorsque cette description ne permet pratiquement pas de raccourcir son écriture. Cette notion fournit un critère algorithmique d’irrégularité.

Cette définition caractérise les suites aléatoires, mais elle ne dit pas si le hasard existe dans la nature. La question est autre : l’aléatoire existe-t-il objectivement, ou n’est-il qu’un aveu de notre incapacité à discerner des régularités ? Dans son interprétation la plus courante, la mécanique quantique affirme, contrairement au déterminisme de Laplace, que certains événements sont fondamentalement indéterminés.

Selon cette lecture, les probabilités quantiques ne résultent pas d’une ignorance provisoire de paramètres cachés, mais traduisent une indétermination de la nature elle-même : le hasard ne serait pas seulement épistémique, mais ontologique. Ce n’est pourtant pas la seule interprétation. Les physiciens du XXe siècle David Bohm et Hugh Everett proposent des descriptions déterministes, respectivement fondées sur des trajectoires guidées et sur l’évolution de l’état quantique sans réduction lors d’une mesure. Le théorème du physicien nord-irlandais John Bell exclut la reproduction de toutes les prédictions quantiques par des modèles satisfaisant certaines conditions de causalité locale et d’indépendance des choix de mesure. Il n’exclut pas tout déterminisme.

Limites et controverses de la rationalité probabiliste

Les biais cognitifs

Cependant, l’esprit humain ne raisonne pas spontanément selon les canons de la théorie des probabilités. Les psychologues Daniel Kahneman et Amos Tversky, dans leurs travaux des années 1970 et 1980, ont mis en évidence de nombreux biais cognitifs. Par exemple, les individus surévaluent les événements récents ou frappants, et la théorie des perspectives qu’ils publient en 1979 décrit une surpondération des faibles probabilités, qui aide à comprendre le succès des loteries comme celui des assurances. Elle décrit aussi l’effet de certitude, le poids particulier accordé à un gain sûr par rapport à un gain très probable. Le paradoxe formulé dès 1953 par l’économiste français Maurice Allais, bien avant leurs travaux, illustre ces déviations : face à certains choix, les préférences humaines peuvent violer les axiomes de la théorie de l’utilité espérée.

Une autre distinction aide à comprendre ces limites : celle entre rationalité substantive et rationalité procédurale. La première suppose un calcul optimal compte tenu de toutes les informations disponibles. La seconde examine les moyens de raisonnement employés compte tenu des ressources disponibles. Des heuristiques, ou raccourcis de raisonnement, permettent de décider rapidement, parfois au prix d’erreurs. Herbert Simon, chercheur américain du XXe siècle en économie et en sciences cognitives, parle de rationalité limitée : les humains cherchent des solutions satisfaisantes plutôt qu’optimales. Cette perspective tempère les ambitions normatives de la théorie de la décision sans renoncer à l’exigence rationnelle.

Probabilité objective ou subjective ?

Un débat persistant oppose fréquentistes et bayésiens sur la nature même de la probabilité. Les interprétations fréquentistes rattachent les probabilités aux fréquences observées ou à leurs limites dans des suites d’essais. Une pièce équitable donne pile avec une probabilité de 0,5, sans garantir une moitié exacte de piles dans un nombre fini de lancers. Cette conception objective limite l’application des probabilités aux phénomènes reproductibles.

Les bayésiens subjectivistes, de leur côté, défendent une interprétation personnelle : la probabilité exprime un degré de croyance rationnel compte tenu de l’information disponible. Elle s’applique donc à n’importe quelle proposition, y compris des événements uniques ou des hypothèses théoriques. Les physiciens américains du XXe siècle Richard Cox puis Edwin Jaynes ont défendu une autre justification. Le théorème de Cox, popularisé par Jaynes, établit que une représentation numérique des degrés de croyance satisfaisant certaines conditions de cohérence peut être ramenée aux lois du calcul des probabilités. Cet argument plaide pour l’approche bayésienne, même si les conditions qu’il suppose restent discutées.

Au-delà de ces divergences techniques, se profile une question métaphysique : le hasard existe-t-il vraiment ? Les interprétations de la mécanique quantique proposent des réponses différentes. La physique contemporaine n’a pas tranché la question du statut ontologique de la probabilité. Les données expérimentales et l’analyse des concepts contribuent ensemble à ce débat.

Une rationalité élargie à l’incertain

Le calcul des probabilités permet de comparer des possibilités sans disposer de connaissances complètes. La théorie de la décision ajoute une question : quelle valeur attribuons-nous aux résultats possibles ? La théorie de l’information étudie, quant à elle, ce qu’une observation permet de distinguer parmi des messages possibles.

Ces approches demandent de préciser leurs hypothèses et leurs limites. La cohérence d’un calcul ne garantit ni la justesse du modèle ni celle des préférences qu’il représente. Raisonner avec des probabilités consiste aussi à examiner ces choix et à les réviser lorsque les observations les mettent en défaut.

Ian Hacking, philosophe canadien de la seconde moitié du XXe siècle, a étudié la formation historique de ces façons de penser le probable.

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Bibliographie

• Pierre-Simon de Laplace, Essai philosophique sur les probabilités. 5e édition,
• Ian Hacking, L’Emergence de la Probabilité, Seuil
• Daniel Kahneman, Système 1 / Système 2: Les deux vitesses de la pensée, Flammarion
• Claude Shannon, Théorie mathématique de la communication, Cassini

Références

• Blaise Pascal, Pensées, Classiques Garnier, 2010.
• Pierre-Simon de Laplace, Essai philosophique sur les probabilités, Christian Bourgois, 1986.
• Thomas Bayes, « An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances », Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 53, 1763.
• Andreï Kolmogorov, « Three Approaches to the Quantitative Definition of Information », Problems of Information Transmission, vol. 1, 1965.
• Daniel Kahneman et Amos Tversky, « Prospect Theory. An Analysis of Decision under Risk », Econometrica, vol. 47, 1979.