Mathématiques et philosophie, une alliance millénaire

Mathématiques et philosophie dans l’histoire

Les racines antiques d’une alliance

Les mathématiques établissent des résultats par des démonstrations ; la philosophie examine notamment ce qui rend ces démonstrations possibles et ce qu’elles nous apprennent. Qu’est-ce qu’un nombre ? Une figure géométrique existe-t-elle indépendamment de ceux qui la pensent ? Pourquoi une équation peut-elle décrire un mouvement ? Ces questions expliquent les nombreux échanges entre les deux disciplines, depuis l’Antiquité jusqu’aux débats sur l’informatique et les fondements du savoir.

Dans la Grèce antique, les recherches sur la nature et sur les figures géométriques se recoupent. Le philosophe grec du VIe siècle avant notre ère Thalès se voit attribuer plusieurs résultats de géométrie, dont l’égalité des angles à la base d’un triangle isocèle. Ces attributions nous parviennent notamment par Proclus, philosophe grec du Ve siècle de notre ère, qui s’appuie sur Eudème de Rhodes, historien grec des sciences du IVe siècle avant notre ère. Ce témoignage tardif appelle à la prudence sur la nature exacte des démonstrations de Thalès.

La tradition issue de Pythagore, penseur grec des VIe et Ve siècles avant notre ère, accorde aux nombres un rôle dans l’explication du monde. Philolaos, philosophe pythagoricien des Ve et IVe siècles avant notre ère, relie la connaissance des choses au nombre. Les recherches pythagoriciennes sur la musique associent des intervalles consonants à des rapports simples, comme deux à un pour l’octave. L’attribution de ces découvertes à Pythagore lui-même reste incertaine. Leur intérêt philosophique tient à l’idée qu’une expérience sensible, entendre un accord, peut correspondre à une relation mathématique.

Le philosophe grec des Ve et IVe siècles avant notre ère Platon fait des mathématiques une préparation à la philosophie. Dans la République, les futurs gouvernants étudient l’arithmétique, les géométries plane et solide, l’astronomie et l’harmonie. Ces disciplines doivent les habituer à raisonner sur des objets intelligibles plutôt qu’à se fier uniquement à ce qu’ils voient. La formule « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre », traditionnellement placée à l’entrée de l’Académie, nous est transmise par des témoignages tardifs ; son existence comme inscription demeure douteuse. Le programme éducatif de la République suffit cependant à attester la place que Platon accorde aux mathématiques.

Aristote, philosophe grec du IVe siècle avant notre ère, refuse de faire des objets mathématiques des êtres séparés des choses sensibles. Le mathématicien peut considérer un corps sous le seul rapport de sa figure ou de sa quantité, en laissant de côté sa matière et son mouvement. Cette abstraction permet d’étudier certaines propriétés sans affirmer que les objets correspondants existent séparément des choses sensibles. Vers 300 avant notre ère, Euclide d’Alexandrie, mathématicien grec, rassemble dans les Éléments un ensemble de connaissances organisé en définitions, postulats et propositions démontrées. Cette organisation rend explicite la dépendance des résultats envers leurs prémisses.

Le tournant moderne, quand les mathématiques transforment la philosophie

Le savant italien Galilée donne aux mathématiques une place majeure dans la connaissance de la nature. Dans L’Essayeur (1623), il compare l’univers à un livre écrit en langue mathématique. Pour comprendre le mouvement ou les trajectoires, il faut donc rechercher des relations entre des grandeurs mesurables. La description mathématique devient un moyen de formuler des lois que l’observation et l’expérience permettront d’évaluer.

Le philosophe et mathématicien français René Descartes contribue au développement de la géométrie analytique, qui associe figures et équations. Il publie La Géométrie en 1637 avec le Discours de la méthode ; Pierre de Fermat, mathématicien français, développe indépendamment une approche voisine. Descartes cherche aussi à étendre à la connaissance philosophique l’exigence de certitude des mathématiques. Ses Méditations métaphysiques (1641) suivent l’ordre de l’analyse : le lecteur reprend la démarche qui mène du doute aux premières certitudes. Dans les Secondes Réponses, il propose également une présentation synthétique de certains arguments, organisée en définitions, postulats et propositions. Il juge toutefois l’analyse mieux adaptée pour conduire le lecteur aux principes de sa métaphysique.

L’expression latine more geometrico, à la manière des géomètres, désigne cette exposition ordonnée à partir de définitions et de principes, suivis de propositions démontrées. Le philosophe néerlandais du XVIIe siècle Baruch Spinoza l’emploie dans son Éthique, publiée après sa mort en 1677. Il entend expliquer les affects et les conduites humaines avec la même nécessité que des propriétés géométriques. Une telle présentation permet au lecteur de repérer les principes dont dépend chaque proposition démontrée. Elle laisse néanmoins ouverte une difficulté philosophique : pourquoi accepter les définitions et les axiomes de départ ? La rigueur d’un enchaînement et la vérité de ses prémisses sont deux exigences distinctes.

Des penseurs qui pratiquent les deux disciplines

Plusieurs penseurs ont excellé dans les deux disciplines. Le savant et philosophe français Blaise Pascal rédige à seize ans un essai sur les coniques, conçoit une machine à calculer à partir de 1642 et échange avec Fermat en 1654 sur des problèmes de probabilités. Dans les Pensées, il examine la condition humaine et la foi. Son pari transpose un raisonnement sur les gains et les risques à la décision de vivre en croyant : sous certaines hypothèses, la possibilité d’un bonheur infini doit l’emporter sur des sacrifices finis. La force de cet argument dépend notamment des probabilités et des récompenses religieuses que l’on accepte de lui attribuer ; le calcul ne dispense pas de discuter ces hypothèses.

Le philosophe et mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz développe le calcul infinitésimal indépendamment d’Isaac Newton, physicien et mathématicien anglais de la même époque. Il publie une première présentation de sa méthode en 1684. Il travaille aussi sur l’arithmétique binaire et sur le projet d’un langage symbolique permettant de traiter les raisonnements par le calcul. Sa métaphysique décrit des monades, substances simples dont chacune exprime l’univers selon son point de vue. Ses recherches mathématiques et philosophiques participent ainsi d’une même recherche de relations ordonnées, sans se réduire les unes aux autres.

Le philosophe et logicien britannique Bertrand Russell publie avec Alfred North Whitehead, mathématicien et philosophe britannique, les Principia Mathematica, de 1910 à 1913. Ils cherchent à reconstruire les mathématiques à partir de la logique, suivant une ambition déjà défendue par Gottlob Frege, logicien allemand des XIXe et XXe siècles. Russell écrit également sur la connaissance, la guerre, l’éducation et la morale. Son prix Nobel de littérature, reçu en 1950, récompense notamment la défense de la liberté de pensée dans son œuvre.

Pourquoi les mathématiques fonctionnent-elles si bien ?

En 1960, le physicien américain d’origine hongroise Eugene Wigner publie un article sur la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature. Pourquoi des constructions abstraites trouvent-elles parfois des applications physiques très précises, longtemps après leur élaboration ? La surprise tient à cette fécondité qui dépasse les intentions initiales des mathématiciens.

L’histoire de la mécanique en offre des exemples. L’astronome allemand des XVIe et XVIIe siècles Johannes Kepler décrit les orbites planétaires par des ellipses. Galilée étudie mathématiquement la chute des corps ; Newton formule une loi de gravitation où l’attraction diminue avec le carré de la distance. Ces descriptions s’appliquent sous des conditions déterminées : les perturbations entre planètes ou la résistance de l’air imposent des corrections. Leur réussite se mesure donc à la précision des prévisions dans un domaine donné, et non à l’identité parfaite entre une équation et toute la réalité.

Le philosophe allemand Emmanuel Kant propose, dans la Critique de la raison pure (1781), une explication fondée sur les conditions de l’expérience. Les jugements mathématiques sont pour lui synthétiques a priori : ils étendent notre connaissance sans dépendre d’une série d’observations. La géométrie construit ses concepts dans l’intuition pure de l’espace ; l’arithmétique fait intervenir la succession, liée au temps. L’espace et le temps sont des formes de notre sensibilité, à distinguer des concepts de l’entendement comme la causalité. Les objets de l’expérience étant donnés sous ces formes, Kant explique ainsi pourquoi ils se prêtent à une connaissance mathématique.

Le débat sur la nature des objets mathématiques se poursuit. Le platonisme mathématique leur attribue une existence indépendante de nous : le travail du mathématicien consiste alors à découvrir leurs propriétés. D’autres approches mettent l’accent sur les systèmes de signes, les axiomes et les règles de démonstration. Le mathématicien néerlandais du XXe siècle Luitzen Brouwer défend l’intuitionnisme : les mathématiques reposent sur des constructions de l’esprit. Pour affirmer l’existence d’un objet, cette approche demande une construction qui l’établisse. Ces positions conduisent à des désaccords sur les preuves admissibles, particulièrement à propos de l’infini.

Peut-on être philosophe sans mathématiques ?

La philosophie examine aussi des questions dont le traitement ne prend pas la forme d’une démonstration mathématique. Le philosophe allemand du XXe siècle Martin Heidegger distingue, dans Sérénité, une pensée calculante qui prévoit et organise, et une pensée méditante qui interroge le sens de notre rapport au monde. Cette distinction permet de demander si tout ce qui compte pour nous peut être traité comme un problème d’efficacité. Elle porte sur des manières de penser, sans se confondre avec une opposition entre personnes compétentes ou incompétentes en mathématiques.

Le philosophe autrichien du XXe siècle Ludwig Wittgenstein, formé à l’ingénierie et lecteur de Frege et de Russell, conteste dans sa seconde philosophie l’idée que les mathématiques décriraient des réalités éternelles. Dans ses remarques sur les fondements des mathématiques, publiées après sa mort, il les rattache à des pratiques et à des règles inscrites dans nos formes de vie. Leur nécessité tiendrait au rôle qu’elles jouent dans nos activités, non à leur correspondance avec un monde abstrait.

Le philosophe français Emmanuel Levinas, dans Totalité et infini (1961), emploie la notion d’infini pour penser une relation éthique : autrui excède les représentations par lesquelles je cherche à le connaître. Il ne s’agit pas d’une grandeur mathématique. D’autres travaux interrogent directement la constitution du savoir géométrique. En 1962, Jacques Derrida, philosophe français, publie une traduction et une longue introduction à L’Origine de la géométrie d’Edmund Husserl, philosophe germanophone des XIXe et XXe siècles. Il examine notamment comment une vérité géométrique peut être transmise par le langage et l’écriture.

Les mathématiciens sont-ils philosophes ?

Un mathématicien peut chercher à résoudre un problème sans se prononcer sur la nature ultime des nombres. Son travail suppose néanmoins des critères de preuve et des règles qu’il peut, à l’occasion, interroger. La question philosophique apparaît dès que l’on demande pourquoi une méthode est légitime ou quel sens donner à l’existence d’un objet abstrait. Elle peut naître de la pratique elle-même.

Au début du XXe siècle, les paradoxes de la théorie des ensembles rendent ces questions particulièrement pressantes. En 1901, Russell découvre une difficulté dans l’idée qu’une propriété quelconque suffirait à définir un ensemble. Des programmes concurrents cherchent à clarifier les fondements des mathématiques. Le logicisme de Frege et Russell privilégie la reconstruction logique ; l’intuitionnisme de Brouwer impose des exigences de construction. David Hilbert, mathématicien allemand, veut notamment établir la cohérence des théories classiques par des raisonnements portant sur des opérations finies.

En 1931, Kurt Gödel, logicien d’origine autrichienne, démontre ses théorèmes d’incomplétude. Ils concernent des systèmes cohérents, suffisamment riches pour formaliser l’arithmétique, dont les axiomes et les règles permettent un contrôle effectif des démonstrations. Dans de tels systèmes, certaines propositions arithmétiques restent indécidables : ni elles ni leur négation ne sont démontrables à partir des axiomes retenus. Sous les conditions usuelles de formalisation, un système de ce type ne peut pas davantage démontrer sa propre cohérence. Ces résultats limitent le programme initial de Hilbert. L’indémontrabilité reste relative à un système : changer d’axiomes peut permettre d’établir une proposition auparavant inaccessible, tout en laissant subsister de nouvelles limites.

Vers une nouvelle synthèse ?

L’informatique et l’intelligence artificielle prolongent ces échanges. La calculabilité étudie ce qu’un procédé algorithmique peut accomplir ; la philosophie demande notamment dans quelle mesure penser se laisse décrire comme calculer. Le philosophe américain Daniel Dennett (1942-2024) a mobilisé des modèles du traitement de l’information pour analyser l’esprit. Douglas Hofstadter, chercheur américain contemporain en sciences cognitives, étudie notamment les relations entre analogie, créativité et conscience. Ces recherches ne règlent pas à elles seules la question de l’expérience subjective, mais elles donnent des modèles précis à discuter. La logique, les probabilités et la théorie des jeux fournissent également des moyens d’examiner nos raisonnements et nos décisions.

L’union dans la différence

Mathématiques et philosophie entretiennent une relation faite d’emprunts et de discussions. Les mathématiques permettent d’établir ce qui suit de certaines hypothèses ; la philosophie peut interroger le sens de ces hypothèses, la nature des objets étudiés et l’usage des résultats. Une même personne peut pratiquer les deux disciplines, mais leurs questions ne se confondent pas. Savoir démontrer une propriété et savoir expliquer pourquoi une théorie s’applique à l’expérience sont deux tâches différentes, qui peuvent se soutenir mutuellement.

Références

• Platon, La République.
• René Descartes, Méditations métaphysiques. Objections et réponses, 1641.
• Baruch Spinoza, Éthique, 1677.
• Emmanuel Kant, Critique de la raison pure, 1781.
• Eugene Wigner, « The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences », Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960.