Le loto, entre hasard, illusions de contrôle et calcul rationnel

L’équivalence mathématique et le mythe du choix optimal

Choisir des numéros, attendre un tirage, imaginer une vie différente : le loto associe une règle mathématique simple à des attentes personnelles. Une grille peut porter les dates d’anniversaire d’une famille ou une suite choisie au hasard. Ces nombres n’ont pas le même sens pour celui qui les coche, mais cette différence ne change rien au tirage. C’est dans cet écart entre une signification personnelle et une probabilité objective que naissent certaines illusions.

Au Loto de la Française des jeux, le joueur choisit cinq numéros parmi quarante-neuf et un numéro Chance parmi dix. Dans un tirage équitable, toutes les combinaisons complètes ont exactement la même probabilité de sortir. Avec le même numéro Chance, la suite 1, 2, 3, 4, 5 a autant de chances que 8, 17, 23, 31, 49. Il existe 19 068 840 combinaisons complètes possibles : une grille simple couvre une seule d’entre elles. Une suite régulière paraît remarquable parce que nous y reconnaissons un ordre ; le mécanisme du tirage ne fait aucune différence entre cet ordre et les autres arrangements.

Une grille simple coûte 2,20 euros. Une grille multiple à six numéros et un numéro Chance coûte 13,20 euros, soit le prix de six grilles simples. L’analyse combinatoire en donne la raison : six numéros forment exactement six combinaisons différentes de cinq numéros. Pour le gros lot, cette grille multiple équivaut donc à six grilles simples distinctes. Les gains secondaires, eux, dépendent de la façon dont les combinaisons se recoupent : plusieurs peuvent gagner ensemble lorsqu’elles contiennent les mêmes bons numéros.

Acheter davantage de combinaisons distinctes augmente bien la probabilité de remporter le gros lot. À nombre de combinaisons distinctes égal, aucun choix de numéros ne procure cet avantage. La comparaison doit donc tenir compte à la fois des chances et du prix payé. Jouer six combinaisons pour six fois la mise laisse intacte la difficulté du jeu : chacune reste une possibilité parmi plus de dix-neuf millions.

L’illusion de contrôle et l’agentivité factice

En 1975, Ellen Langer, psychologue américaine, étudie l’illusion de contrôle : la tendance à surestimer son influence dans une situation régie par le hasard. Des employés achètent un billet de loterie, soit choisi par eux-mêmes, soit attribué. Lorsqu’on leur demande ensuite à quel prix ils accepteraient de le céder, ceux qui l’ont choisi réclament davantage. Langer interprète cette différence comme un indice de confiance excessive dans le billet choisi.

La psychologie expérimentale a depuis discuté cette interprétation. En 1996, Maya Bar-Hillel et Efrat Neter, psychologues israéliennes, montrent que des participants refusent d’échanger leur billet tout en reconnaissant qu’il n’a aucune chance supplémentaire de gagner. Elles rattachent cette réticence au regret que pourrait susciter la décision d’échanger, même sans apprendre ensuite le sort du billet abandonné. En 2021, Joowon Klusowski, chercheuse en sciences de la décision, et son équipe constatent dans dix-sept expériences que le choix ne produit généralement pas, à lui seul, une illusion de contrôle. Préférer garder son billet et croire qu’il gagnera plus facilement sont deux attitudes distinctes.

Choisir une date familiale peut ainsi rendre le jeu plus agréable sans impliquer de croyance magique. L’illusion apparaît lorsque le joueur attribue à cette date une influence sur le résultat. On parle d’agentivité pour désigner la capacité d’agir et de se reconnaître comme l’auteur de ses actes. Au loto, le joueur exerce cette capacité en choisissant sa participation et ses numéros. Le tirage reste indépendant de ces décisions.

Une autre erreur concerne l’évaluation des chances. Les psychologues Amos Tversky, israélien, et Daniel Kahneman, israélo-américain, décrivent en 1973 le biais de disponibilité : on peut juger un événement fréquent parce que des exemples viennent facilement à l’esprit. Le récit marquant d’un gagnant peut alors peser davantage que les nombreux tirages sans gain. Pour apprécier une fréquence, il faut pourtant rapporter les réussites à l’ensemble des participations, y compris celles dont personne ne raconte l’histoire.

L’espérance mathématique négative et l’espérance psychologique positive

L’espérance de gain est une moyenne théorique : on multiplie chaque gain possible par sa probabilité, on additionne ces résultats, puis on soustrait la mise pour obtenir l’espérance nette. Le règlement du Loto prévoit qu’une partie seulement des mises revient globalement aux gagnants. Le bilan collectif des joueurs est donc déficitaire. Cette moyenne ne prédit pas le résultat certain d’une personne : certains gagnent, y compris après de nombreux tirages. L’espérance d’un billet particulier dépend aussi du jackpot et de son éventuel partage.

La théorie de la décision distingue cette espérance monétaire de l’utilité espérée. L’utilité représente la valeur que les conséquences d’un choix ont pour une personne. Deux sommes identiques peuvent avoir une importance différente selon les ressources et les besoins de celui qui les reçoit. De même, le plaisir de participer peut entrer dans l’évaluation du jeu. La rationalité ne se réduit donc pas, dans cette théorie, à rechercher la plus grande somme moyenne.

Le joueur peut acheter le droit de rêver, d’imaginer une vie transformée, d’en parler avec ses proches. Pour quelques euros, il se procure des moments d’anticipation agréable. On peut aimer rêver d’un voyage que l’on ne fera jamais. Cette expérience a une valeur pour celui qui la recherche ; son coût reste la somme effectivement dépensée. La comparaison devient trompeuse si l’espoir de récupérer cette dépense empêche de la compter comme une dépense.

La théorie des perspectives, proposée par Kahneman et Tversky en 1979, décrit une autre manière d’évaluer les choix risqués. Une faible probabilité peut recevoir un poids disproportionné dans la décision. Cela ne signifie pas nécessairement que le joueur calcule mal sa valeur numérique : il peut connaître la rareté du gain et néanmoins lui accorder une importance excessive. Le modèle distingue aussi le poids des pertes de celui des gains, une perte pouvant compter davantage qu’un gain de même montant.

Le regret concerne une comparaison différente, entre le résultat obtenu et celui qu’aurait produit un autre choix. Graham Loomes et Robert Sugden, économistes britanniques, proposent en 1982 une théorie de la décision qui en tient compte. Imaginons quelqu’un qui joue chaque semaine les mêmes numéros : il peut redouter de les voir sortir précisément le jour où il renonce. Cette possibilité donne une raison psychologique de continuer. Elle ne modifie ni les chances du prochain tirage ni le total des mises déjà versées.

Le paradoxe anti-partage et l’optimisation par la rareté

Le choix des numéros ne modifie pas la probabilité qu’une combinaison soit tirée, mais il peut modifier le montant reçu lorsqu’elle gagne. Le gros lot est partagé entre les gagnants du premier rang. Une combinaison choisie par beaucoup de joueurs expose donc à recevoir une fraction plus petite du jackpot. Deux questions doivent être séparées : la combinaison sortira-t-elle, et combien de personnes l’auront jouée ?

John Haigh, statisticien britannique, étudie en 1997 les premiers tirages de la loterie nationale britannique. Il constate que les combinaisons jouées ne sont pas choisies uniformément. Son analyse montre l’intérêt mathématique des combinaisons impopulaires : à probabilité de sortie égale, elles peuvent procurer un meilleur gain moyen parce qu’elles risquent moins d’être partagées. Ce constat porte sur les choix des participants, pas sur une irrégularité des tirages.

Le raisonnement suppose toutefois de connaître les habitudes des autres joueurs. Une combinaison qui paraît originale ne l’est pas forcément à leurs yeux. Sans données sur les grilles enregistrées, on ne peut pas déduire sa rareté de son seul aspect. Une étude britannique fournit une explication du mécanisme, mais ne permet pas de classer avec certitude les combinaisons du Loto français.

L’option Flash sélectionne des numéros au hasard. Elle peut produire une suite, des dates ou toute autre combinaison autorisée. Elle dispense de choisir soi-même ; elle ne garantit ni l’originalité de la grille ni l’absence de partage. Le paradoxe est limité mais intéressant : le tirage relève du hasard, tandis que le montant d’un gain partagé dépend aussi des décisions humaines qui l’ont précédé.

Éthique et redistribution, le loto est-il un impôt volontaire ?

Dans Selling Hope (1989), Charles Clotfelter et Philip Cook, économistes américains, étudient les loteries des États américains. Ils soulignent notamment leur caractère régressif : les sommes prélevées pèsent davantage, proportionnellement, sur les petits revenus. Cette observation ne signifie pas que tous les ménages pauvres jouent, ni qu’ils dépensent nécessairement plus en valeur absolue. Une même mise représente une part très différente du budget selon les ressources disponibles.

L’expression d’impôt volontaire rapproche deux mécanismes sans les confondre. L’achat d’un billet est facultatif, alors que l’impôt est obligatoire ; tous deux peuvent contribuer aux recettes publiques. En France, la Française des jeux a été privatisée en 2019, tandis que les jeux restent soumis à des prélèvements publics. L’Autorité nationale des jeux, créée en 2020, a notamment pour mission de prévenir le jeu excessif. Les pouvoirs publics doivent ainsi concilier des recettes issues du jeu et la protection des joueurs.

Une évaluation utilitariste examinerait l’ensemble des conséquences : plaisir de participer, gains, pertes, difficultés financières et effets sur les proches. Elle devrait tenir compte de leur répartition, car un plaisir modeste pour beaucoup de personnes ne décrit pas à lui seul le dommage subi par quelques-unes. Le simple total des mises ou des recettes ne suffit pas à établir ce bilan.

Une autre interrogation vient d’Emmanuel Kant, philosophe allemand du XVIIIe siècle, pour qui les personnes doivent être traitées comme des fins en elles-mêmes. Appliquée au loto, cette exigence invite à examiner la manière de solliciter les joueurs : l’information leur permet-elle de comprendre le coût et les chances, ou la publicité entretient-elle sciemment une croyance trompeuse ? Il s’agit ici d’une application de sa morale à une pratique contemporaine.

Les philosophes face au hasard, de la Providence au calcul des probabilités

Les stoïciens, école née dans l’Antiquité grecque, pensent les événements à l’intérieur d’un ordre causal. Ce qui nous surprend peut avoir des causes que nous ignorons. Cette manière de comprendre le hasard invite à distinguer l’imprévisibilité pour un observateur et l’absence de cause dans les choses.

Blaise Pascal, mathématicien et philosophe français, contribue à donner une mesure à l’incertitude. En 1654, il échange avec Pierre de Fermat, mathématicien français, sur le problème des partis : comment répartir équitablement les mises lorsqu’une partie s’interrompt avant son terme ? Il faut considérer les issues encore possibles et leurs probabilités. Ce calcul permet de prendre une décision sans connaître le résultat futur.

Dans les Pensées, Pascal envisage aussi le pari sur l’existence de Dieu. Son argument attribue au salut une valeur infinie et suppose une probabilité positive de l’obtenir. Ces hypothèses rendent la comparaison avec une loterie limitée : au loto, les gains sont finis, les probabilités calculables et la mise connue. Un gros gain très improbable doit être évalué avec son montant, sa probabilité et le coût de la participation.

Baruch Spinoza, philosophe néerlandais du XVIIe siècle, défend dans l’Éthique (1677) la nécessité de l’ordre naturel. Nous qualifions de contingentes des choses dont nous ignorons la détermination par leurs causes. Ce déterminisme ne fournit aucune méthode pour connaître les prochains numéros : expliquer pourquoi les événements ont des causes et disposer des informations permettant de les prévoir sont deux tâches différentes.

Friedrich Nietzsche, philosophe allemand, présente dans Le Gai Savoir (1882) l’amor fati, l’amour du destin. Il cherche une manière d’affirmer l’existence jusque dans ce qu’elle comporte de nécessaire et de difficile. Rapportée au jeu, cette interrogation concerne l’attitude envers ce qui arrive. Elle laisse entière la question pratique de savoir s’il vaut la peine de payer pour participer.

La rationalité de l’irrationnel, penser une décision incertaine

Pour juger une participation au loto, il faut d’abord savoir ce que la personne recherche. Quelqu’un qui veut financer un projet grâce à un gain presque impossible ne raisonne pas comme celui qui paie une petite somme pour attendre un tirage entre amis. Le second peut connaître exactement la faiblesse de ses chances. Le plaisir qu’il recherche explique sa dépense, sans transformer cette dépense en placement.

Les motifs peuvent cependant se mêler. On commence pour s’amuser, puis l’on continue parce qu’on regretterait d’arrêter juste avant une victoire imaginée. La décision mérite alors d’être examinée à nouveau : le plaisir existe-t-il encore, le coût reste-t-il acceptable, les probabilités sont-elles comprises ? La rationalité exige cette attention aux conséquences aussi bien qu’aux raisons que l’on donne de son choix.

Un miroir anthropologique

Le loto rend visible une difficulté ordinaire : nous devons décider avant de savoir ce qui arrivera. Son dispositif permet d’isoler cette difficulté, puisque les probabilités y sont définies plus clairement que dans beaucoup de décisions quotidiennes. Même avec cette information, l’attente, les habitudes et les regrets possibles influencent le jugement.

Reconnaître ces motifs aide à comprendre le jeu sans attribuer à tous les participants la même croyance. Une date peut évoquer un proche, une grille partagée peut devenir une occasion de conversation, un jackpot peut nourrir un rêve. Ces significations appartiennent à l’expérience du joueur. Les distinguer du mécanisme du tirage permet de leur donner leur juste place, tout en gardant à l’esprit le prix payé pour cette expérience.

Pour aller plus loin

• Nassim Nicholas Taleb, Le cygne noir: La puissance de l’imprévisible - Suivi de Force et fragilité - Réflexions philosophiques et empiriques, Belles Lettres
• Antonio R. Damasio, L’Erreur de Descartes: La raison des émotions, Odile Jacob
• Daniel Kahneman, Système 1 /Système 2: Les deux vitesses de la pensée, Champs
• Ian Hacking, The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference, Cambridge (en anglais)
• Fabrizio BUCELLA, Comment gagner à pile ou face ? - Et autres énigmes scientifiques ébouriffantes…, Allary

Références

• Ellen Langer, « The Illusion of Control », Journal of Personality and Social Psychology, 1975.
• Maya Bar-Hillel et Efrat Neter, « Why Are People Reluctant to Exchange Lottery Tickets? », Journal of Personality and Social Psychology, 1996.
• Joowon Klusowski et son équipe, « Does Choice Cause an Illusion of Control? », Psychological Science, 2021.
• Daniel Kahneman et Amos Tversky, « Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk », Econometrica, 1979.
• John Haigh, « The Statistics of the National Lottery », Journal of the Royal Statistical Society, 1997.
• Charles Clotfelter et Philip Cook, Selling Hope: State Lotteries in America, Harvard University Press, 1989.