Corbeaux noirs et objets d'autres couleurs, le paradoxe de Hempel

Le paradoxe des corbeaux et la confirmation scientifique

En 1945, le philosophe d’origine allemande Carl Gustav Hempel, émigré aux États-Unis, publie dans la revue Mind des « Études sur la logique de la confirmation ». Il y expose une difficulté qu’il avait déjà signalée quelques années plus tôt et que l’on appelle depuis le paradoxe des corbeaux, ou paradoxe de Hempel. Elle concerne une question simple en apparence : quand une observation confirme-t-elle une hypothèse ?

La genèse du paradoxe

Le contexte est celui de l’empirisme logique. Au milieu du XXe siècle, les héritiers du positivisme logique cherchent à donner des règles précises à la méthode scientifique, et notamment à définir la relation qui unit les données d’observation aux lois qu’elles sont censées soutenir. Une loi scientifique a souvent la forme d’une généralisation universelle. L’énoncé « tous les corbeaux sont noirs » en est l’exemple scolaire : il porte sur tous les membres d’une classe, sans restriction de lieu ni de date. Il revient à dire qu’il n’existe aucun corbeau non noir, qu’il soit blanc, gris ou d’une autre couleur. Cet exemple simplifié permet d’étudier la confirmation sans supposer de connaissances particulières en ornithologie.

Une généralisation portant sur des cas non examinés va au-delà de ce que des observations limitées permettent de prouver. On admet pourtant que les observations peuvent la soutenir, la rendre plus crédible. Jean Nicod, philosophe et logicien français, a donné à cette idée une forme précise dans Le Problème logique de l’induction (1924). Selon ce que l’on appelle depuis le principe de Nicod, une généralisation de la forme « tous les A sont B » est confirmée par un objet qui est à la fois A et B, et infirmée par un objet qui est A sans être B. Un corbeau noir confirme donc que tous les corbeaux sont noirs ; un corbeau blanc la réfute. Quant aux objets qui ne sont pas des corbeaux, Nicod les tenait pour sans pertinence.

L’équivalence logique des deux énoncés

En logique, l’énoncé « tous les corbeaux sont noirs » s’écrit : pour tout objet x, si x est un corbeau, alors x est noir. Cette formulation conditionnelle a une contraposée : pour tout objet x, si x n’est pas noir, alors x n’est pas un corbeau. Les deux énoncés sont logiquement équivalents. Ils sont vrais ou faux ensemble dans tous les cas possibles, puisque l’un comme l’autre n’est faux que s’il existe un corbeau non noir.

Hempel ajoute un principe qu’il appelle la condition d’équivalence : ce qui confirme un énoncé confirme aussi tout énoncé qui lui est logiquement équivalent. Ce principe paraît difficile à refuser. Si deux énoncés disent la même chose, il serait étrange qu’une observation soutienne l’un sans soutenir l’autre. Le refuser reviendrait à faire dépendre la confirmation de la manière dont on formule une hypothèse, et non de ce qu’elle affirme. Ce serait accorder à la forme verbale un poids épistémique, c’est-à-dire un rôle dans la justification de nos connaissances, qu’elle ne devrait pas avoir.

L’émergence du paradoxe

Les deux règles conduisent à un résultat surprenant. D’après le critère de Nicod appliqué à la contraposée, un objet qui n’est pas noir et qui n’est pas un corbeau confirme que tout ce qui n’est pas noir n’est pas un corbeau. D’après la condition d’équivalence, il confirme donc aussi que tous les corbeaux sont noirs. Une chaussure rouge, une feuille verte ou un bol blanc deviennent des données en faveur de l’hypothèse sur les corbeaux. On pourrait faire de l’ornithologie sans sortir de chez soi, en recensant les objets non noirs de son appartement.

Le résultat va même plus loin. Comme la conditionnelle « si x est un corbeau, alors x est noir » est vraie de tout objet qui n’est pas un corbeau, la théorie formelle de Hempel traite aussi l’observation d’un non-corbeau noir comme une confirmation. Le fait que cet objet ne soit pas un corbeau suffit à satisfaire la conditionnelle appliquée à cet objet. Passer de cette satisfaction à la confirmation de la loi dépend bien de la théorie proposée, et non de la seule table de vérité du conditionnel.

Ce résultat heurte le sens commun. Il semble qu’il faille examiner des corbeaux pour apprendre quelque chose sur les corbeaux. Il n’y a pourtant là aucune contradiction logique. Le paradoxe vient de ce que deux principes de la théorie de la confirmation, chacun plausible, conduisent ensemble à une conséquence que l’on juge absurde. Il faut donc ou bien accepter cette conséquence, ou bien renoncer à l’un des principes.

Implications pour la confirmation en sciences

La première réponse est celle de Hempel lui-même. Il accepte la conséquence et soutient que l’impression d’absurdité est une illusion psychologique. Elle viendrait d’abord de ce que nous lisons l’hypothèse comme si elle ne portait que sur les corbeaux, alors qu’en logique elle porte sur tous les objets, en affirmant de chacun qu’il est soit noir, soit un non-corbeau. Elle viendrait ensuite de ce que nous tenons compte, sans le dire, de connaissances préalables. Si je sais déjà que l’objet devant moi est une chaussure, constater qu’elle est rouge ne met pas l’hypothèse à l’épreuve, puisqu’il n’y avait aucune chance qu’elle la réfute. Mais si l’on me présente un objet non noir dont j’ignore la nature, et que je découvre que ce n’est pas un corbeau, l’hypothèse a bel et bien couru un risque et en est sortie indemne. Cette explication rend la confirmation plus compréhensible. Elle fait toutefois intervenir des connaissances préalables que la définition formelle de Hempel ne représente pas explicitement.

Les philosophes américains du XXe siècle Israel Scheffler et Nelson Goodman proposent une autre notion, la confirmation sélective. Pour sélectionner l’hypothèse « tous les corbeaux sont noirs », l’observation doit aussi écarter l’hypothèse contraire « aucun corbeau n’est noir ». Un corbeau noir le fait ; une chaussure rouge ne départage pas ces deux possibilités. Cette règle dépend toutefois de l’opposition choisie. L’hypothèse contraire de « tous les non-noirs sont des non-corbeaux » serait « aucun non-noir n’est un non-corbeau », soit « tous les non-noirs sont des corbeaux ». Ce n’est plus la même rivale : un corbeau noir ne la réfute pas, puisqu’elle porte seulement sur les objets non noirs. La confirmation sélective ne respecte donc pas la condition d’équivalence sous sa forme initiale.

La troisième réponse remet en cause le critère de Nicod lui-même. Il n’est pas vrai qu’une instance positive confirme toujours une généralisation. En 1967, le statisticien britannique Irving John Good a imaginé un monde où l’observation d’un corbeau noir rendrait moins probable que tous les corbeaux soient noirs. Supposons que nous hésitions entre deux mondes : le premier contient cent corbeaux tous noirs et un million d’autres oiseaux ; le second contient mille corbeaux noirs, un corbeau blanc et un million d’autres oiseaux. Tirer au hasard un oiseau parmi tous les oiseaux et constater que c’est un corbeau noir favorise le second monde. L’effet d’une observation dépend donc des connaissances de fond. Le philosophe des sciences du XXe siècle Karl Popper allait plus loin encore, en refusant l’idée même que des instances positives confirment une théorie ; seule compte pour lui la résistance d’une théorie à des tests sévères, qu’il appelle corroboration.

Les réponses bayésiennes et le calcul des probabilités

L’approche probabiliste mesure la façon dont une observation modifie la crédibilité d’une hypothèse. Dès 1940, la logicienne polonaise Janina Hosiasson-Lindenbaum en avait donné l’idée. Rudolf Carnap, philosophe de l’empirisme logique, distingue dans Logical Foundations of Probability (1950) deux sens de la confirmation : le degré de confirmation d’une hypothèse, c’est-à-dire sa probabilité au vu des données, et l’accroissement de ce degré par une observation nouvelle. Dans le second sens, une observation confirme une hypothèse si elle la rend plus probable qu’avant. Les philosophes contemporains des sciences Patrick Maher et Branden Fitelson ont ensuite étudié ces questions dans le cadre du théorème de Bayes.

Le calcul repose sur une comparaison entre deux probabilités : celle d’obtenir l’observation si l’hypothèse est vraie et celle de l’obtenir si elle est fausse. Si la première dépasse la seconde, l’observation augmente la probabilité de l’hypothèse, pourvu que celle-ci n’ait pas déjà une probabilité nulle ou égale à un. Le rapport entre les deux probabilités, appelé rapport de vraisemblance, mesure cette force de confirmation. Le résultat dépend donc des possibilités et du mode d’observation retenus dans le modèle.

Supposons, pour rendre le calcul précis, un univers d’un million d’objets contenant cent corbeaux et cinq cent mille objets non noirs. Nous n’envisageons que deux possibilités. Dans la première, tous les corbeaux sont noirs. Dans la seconde, quatre-vingt-dix sont noirs et dix sont blancs. Les autres objets sont répartis de façon que le nombre total d’objets non noirs reste identique dans les deux cas. Il s’agit d’un modèle construit pour comparer des observations, non d’une description de notre monde.

Si l’on tire uniformément un objet parmi les corbeaux, la probabilité de le trouver noir vaut 1 dans le premier cas et 0,9 dans le second. Le rapport de vraisemblance vaut donc environ 1,11. Si l’on tire plutôt un objet parmi les cinq cent mille objets non noirs, la probabilité qu’il ne soit pas un corbeau vaut 1 dans le premier cas et 499 990 sur 500 000 dans le second. Le rapport est alors d’environ 1,00002. Les deux observations favorisent la première possibilité, mais la seconde la favorise beaucoup moins. On comprend ainsi comment un soutien peut être positif tout en restant très faible.

Dans ce modèle, constater qu’un objet tiré parmi les non-noirs n’est pas un corbeau apporte une confirmation faible. Une chaussure rouge peut fournir ce constat si l’on ne retient que ces deux propriétés. Mais le calcul ne prouve pas que toute rencontre d’une chaussure rouge ait cet effet. Si l’on choisit d’avance une chaussure et si le modèle suppose que la répartition des couleurs des chaussures est indépendante de celle des corbeaux, découvrir sa couleur n’apporte aucune information sur les oiseaux. Changer les connaissances de départ peut aussi changer le sens de l’effet, comme le montre l’exemple de Good. Le théorème de Bayes fournit une règle de calcul ; il ne fixe pas à lui seul le modèle auquel on l’applique.

Cette solution a des limites. Elle suppose que l’on puisse attribuer des probabilités initiales aux hypothèses, ce qui soulève des difficultés propres. Elle conduit aussi à une conséquence qui a paru choquante : en accumulant suffisamment d’objets non noirs qui ne sont pas des corbeaux, on pourrait obtenir une confirmation forte sans avoir vu un seul corbeau. Cette conséquence est moins absurde qu’il n’y paraît. Dans un univers fini, recenser tous les objets non noirs et constater qu’aucun n’est un corbeau suffirait à établir que tous les corbeaux sont noirs. Si les objets non noirs sont beaucoup plus nombreux que les corbeaux, ce recensement sera peu pratique. Mais, une fois achevé dans un domaine fini connu, il établit bien l’absence de tout corbeau non noir.

Les solutions pragmatiques et le rôle du contexte

Une autre famille de réponses insiste sur ce qui, dans la pratique scientifique, détermine la pertinence d’une observation. Willard Van Orman Quine, philosophe et logicien américain, propose dans l’essai « Natural Kinds » (1969) une réponse originale. Le critère de Nicod ne vaut, selon lui, que pour des prédicats qui désignent des espèces naturelles, c’est-à-dire des classes d’objets qui se ressemblent assez pour que l’on puisse en tirer des inductions. Les corbeaux et les choses noires forment de telles classes. Les choses non noires et les non-corbeaux n’en forment pas : rien ne rassemble une chaussure rouge, un nuage blanc et une grenouille verte. Il refuse ainsi l’application automatique du critère de Nicod à ces catégories négatives. La contraposée conserve pourtant sa valeur logique et peut recevoir indirectement une confirmation par l’observation d’un corbeau noir.

Cette réponse rejoint un autre problème, posé par Nelson Goodman dans Faits, fictions et prédictions (1955). Goodman invente le prédicat vleu, qui s’applique à un objet s’il est examiné avant une date future fixée et vert, ou s’il n’est pas examiné avant cette date et bleu. Supposons que toutes les émeraudes observées jusqu’ici soient vertes : elles sont aussi vleues. Les deux généralisations semblent donc également soutenues par les mêmes données, alors qu’elles prédisent des couleurs différentes pour les émeraudes examinées après cette date. Pourquoi l’une permet-elle de prévoir et pas l’autre ? Goodman parle de prédicats projetables, Quine d’espèces naturelles. Dans les deux cas, la confirmation ne dépend pas seulement de la forme logique des énoncés, mais du vocabulaire dans lequel on les formule et de son enracinement dans la pratique.

Peter Achinstein, philosophe américain des sciences, propose une autre analyse dans The Book of Evidence (2001). Une preuve potentielle doit rendre l’hypothèse probable, et pas simplement un peu plus probable qu’auparavant. Il exige aussi une probabilité élevée d’un lien explicatif entre le fait observé et l’hypothèse. Une cause commune peut, par exemple, expliquer à la fois la couleur des corbeaux examinés et celle des autres corbeaux. La couleur d’une chaussure n’offre pas une telle explication. Son approche ne réduit donc pas la preuve à une relation purement logique, ni au seul accroissement d’une probabilité.

Ces réponses ont l’avantage de rendre compte du jugement des scientifiques tout en reconnaissant la validité de l’analyse logique. Elles laissent ouverte une question difficile : comment définir la pertinence, les espèces naturelles ou le lien explicatif sans retomber dans le flou ou la subjectivité ?

La portée du paradoxe pour la science

Le paradoxe de Hempel a mis à l’épreuve une conception de la science. L’empirisme logique espérait que la confirmation serait une relation formelle entre énoncés, indépendante du contexte et des connaissances du chercheur. Le paradoxe montre qu’une formalisation trop simple conduit à des résultats inacceptables ou du moins surprenants. Plusieurs réponses font intervenir des éléments que la simple équivalence logique laisse indéterminés : les probabilités initiales et la manière dont on recueille les données pour les bayésiens, les hypothèses rivales pour Scheffler et Goodman, les espèces naturelles pour Quine, les liens explicatifs pour Achinstein.

Le paradoxe prolonge aussi le problème de l’induction posé par David Hume, philosophe écossais du XVIIIe siècle. Hume avait montré que les observations passées ne suffisent pas à garantir logiquement que les cas futurs leur ressembleront. Le paradoxe des corbeaux ajoute une difficulté : même si l’on accepte de raisonner par induction, il n’est pas évident de savoir quelles observations comptent en faveur d’une généralisation donnée.

Développements contemporains

Les débats contemporains ont affiné ces réponses sans produire d’accord général. Richard Jeffrey, philosophe et logicien américain de la seconde moitié du XXe siècle, a étudié la révision des probabilités lorsque les observations elles-mêmes demeurent incertaines. On peut, par exemple, hésiter sur une couleur observée avec une lumière insuffisante : la donnée nouvelle ne devient pas pour autant une certitude. Deborah Mayo, philosophe américaine contemporaine des statistiques, défend une approche fondée sur la sévérité des tests, issue de la statistique : une hypothèse reçoit un appui lorsqu’elle résiste à une procédure qui avait de fortes chances de détecter les erreurs recherchées, si elles avaient été présentes. Observer une chaussure rouge n’est pas un test sévère de l’hypothèse sur les corbeaux, ce qui explique qu’elle nous paraisse sans valeur.

Ces débats distinguent plusieurs questions que le mot confirmation peut recouvrir. Une donnée augmente-t-elle la probabilité d’une hypothèse ? Permet-elle de la préférer à une rivale ? Résulte-t-elle d’une recherche capable de déceler une erreur ? Les réponses peuvent différer sans que la logique soit contradictoire. Devant une observation, il faut donc préciser ce qu’on cherche à établir et ce qu’on savait déjà. C’est cette exigence de précision que rend sensible l’écart entre le corbeau noir et la chaussure rouge.

Références

• Carl G. Hempel, « Studies in the Logic of Confirmation », Mind, vol. 54, 1945.
• Jean Nicod, Le Problème logique de l’induction, Alcan, 1924 ; rééd. PUF, 1961.
• Nelson Goodman, Fact, Fiction, and Forecast, Harvard University Press, 1955.
• W. V. O. Quine, « Natural Kinds », dans Ontological Relativity and Other Essays, Columbia University Press, 1969.
• I. J. Good, « The White Shoe Is a Red Herring », British Journal for the Philosophy of Science, vol. 17, 1967.
• Branden Fitelson, « The Paradox of Confirmation », Philosophy Compass, vol. 1, 2006.