Pierre de Fermat (1601–1665) : penseur de la méthode scientifique et architecte de la philosophie naturelle

Magistrat au parlement de Toulouse, Pierre de Fermat incarne la figure du savant du XVIIᵉ siècle qui contribue à refonder les bases de la connaissance scientifique. Penseur méthodique de la philosophie naturelle, il développe une approche rationnelle de l’investigation mathématique et physique qui préfigure l’épistémologie moderne.

Cette biographie est l’occasion de démontrer une nouvelle fois que les mathématiques sont profondément liées à la philosophie. Les travaux de Fermat, notamment son dernier théorème, illustrent la quête de la vérité absolue et de la preuve rigoureuse, des idéaux centraux à l’épistémologie et à la logique qui offrent un modèle pour la pensée rationnelle et explorent les limites de la connaissance humaine. Ce lien se manifeste aussi dans des domaines comme la métaphysique (au sujet de la nature des nombres) et l’esthétique (concernant la beauté des structures mathématiques).

En raccourci

Pierre de Fermat naît en 1601 à Beaumont-de-Lomagne. Fils d’un prospère marchand de cuir, il étudie le droit à Orléans avant d’exercer comme magistrat au parlement de Toulouse dès 1631.

Savant amateur mais passionné, Fermat participe à la révolution intellectuelle du XVIIᵉ siècle. En optique, il formule le principe selon lequel la lumière emprunte le chemin le plus rapide, jetant les fondements d’une approche téléologique de la physique. En géométrie, il développe indépendamment de Descartes les bases de la géométrie analytique. En mathématiques pures, il crée la théorie des nombres et introduit la méthode de la descente infinie.

Sa correspondance avec Pascal inaugure le calcul des probabilités, tandis que ses échanges avec Mersenne, Descartes et Roberval témoignent d’une réflexion approfondie sur la méthode scientifique et les fondements de la connaissance. Par sa recherche des principes généraux gouvernant les phénomènes naturels, Fermat incarne le rationalisme moderne en philosophie naturelle. Il meurt à Castres en 1665, laissant une œuvre qui façonne durablement l’épistémologie des sciences.

Origines et formation intellectuelle

Milieu familial et première éducation

Né le 17 août 1601 à Beaumont-de-Lomagne, petite bastide gasconne proche de Montauban, Fermat grandit dans une famille de notables locaux. Son père, Dominique Fermat, prospère marchand de cuir et de produits agricoles, exerce trois mandats comme consul de la ville. Cette aisance matérielle permet au jeune Pierre d’accéder à une éducation soignée, probablement dispensée par les franciscains du couvent local.

L’environnement familial favorise son éclosion intellectuelle. Sa mère, Claire de Long, appartient à une famille de petite noblesse parlementaire. Cette double appartenance à la bourgeoisie marchande et aux cercles juridiques façonne chez Fermat une sensibilité particulière : le souci du concret et de l’utile se conjugue avec l’exigence de rigueur propre au monde du droit.

Les sources demeurent silencieuses sur les détails de sa formation précoce. La culture humaniste qu’il manifeste adulte – maîtrise du latin, du grec classique, de l’italien et de l’espagnol – suggère une immersion dans les textes anciens dès l’adolescence. Cette formation classique constitue le socle sur lequel s’édifiera sa réflexion scientifique, nourrie par la lecture des géomètres grecs et des arithméticiens alexandrins.

Études juridiques et premières recherches

À partir de 1623, Fermat étudie le droit civil à l’université d’Orléans. Il en sort diplômé en 1626 à l’âge de vingt-cinq ans. Ce cursus juridique ne constitue pas une simple formalité professionnelle. L’apprentissage du raisonnement juridique, avec ses exigences de démonstration rigoureuse et d’argumentation précise, influence profondément sa méthode scientifique.

Installé à Bordeaux vers 1626 comme avocat auprès de la cour, il fréquente un cercle de mathématiciens où il fait la connaissance de Beaugrand et d’Étienne d’Espagnet. Dans cette ville portuaire ouverte aux échanges intellectuels, Fermat entame ses premières recherches sérieuses en mathématiques. En 1629, il réalise une restauration du traité d’Apollonius, De Locis Planis, qu’il communique aux mathématiciens locaux.

Ces années bordelaises s’avèrent décisives. Fermat découvre les travaux de François Viète, mathématicien français qui a renouvelé l’algèbre en introduisant un symbolisme cohérent. Cette rencontre intellectuelle avec l’œuvre de Viète détermine l’orientation de toute sa production ultérieure : comme Viète, Fermat cherche à dégager les structures générales sous-jacentes aux problèmes particuliers.

Carrière de magistrat et constitution d’un réseau savant

Installation à Toulouse et dignités parlementaires

En décembre 1630, Fermat achète pour la somme considérable de 43 500 livres une charge de conseiller au parlement de Toulouse, l’une des cours souveraines de justice du royaume. Il prête serment en mai 1631, accède ainsi à la noblesse de robe et peut désormais porter le nom de Pierre de Fermat. Le 1ᵉʳ juin 1631, il épouse Louise de Long, cousine germaine de sa mère, qui lui donnera huit enfants dont cinq atteindront l’âge adulte.

La vie parlementaire structure son existence pendant plus de trois décennies. Conseiller à la première chambre des enquêtes jusqu’en 1652, il traite principalement des affaires civiles. Il intègre ensuite la Tournelle, chambre criminelle du parlement, où il juge les affaires les plus graves. Régulièrement détaché à la chambre de l’Édit de Castres – tribunal mi-parti chargé des litiges entre catholiques et protestants –, il séjourne un an ou deux dans cette ville huguenote où il entretient d’excellentes relations avec l’académie protestante locale.

La charge parlementaire représente bien plus qu’un gagne-pain. Elle incarne une conception du service public et de la justice qui nourrit sa réflexion philosophique sur l’ordre, la règle et la démonstration. La rigueur exigée dans l’examen des faits judiciaires se transpose dans l’investigation scientifique.

Correspondance et république des lettres

Éloigné des grands centres intellectuels européens, Fermat participe à la vie savante principalement par correspondance. Le père Marin Mersenne, religieux minime qui anime à Paris un cercle de savants, devient son principal intermédiaire. Par Mersenne transitent les problèmes, les solutions, les défis et les controverses qui alimentent la recherche mathématique de l’époque.

Cette correspondance dépasse largement le cadre de l’échange technique. Avec Descartes, les discussions portent sur la méthode et les fondements de la géométrie. Avec Gilles Personne de Roberval, les débats concernent les maxima et minima des courbes. Avec Pascal, à partir de 1654, s’établit un dialogue sur les jeux de hasard qui fonde le calcul des probabilités. Chaque échange épistolaire constitue un laboratoire intellectuel où se forgent les concepts et se précisent les méthodes.

Fermat ne publie presque rien de son vivant. Ses découvertes circulent par lettres, souvent sans démonstrations complètes. Cette pratique correspond à la fois à l’usage du temps – où la correspondance privée constitue le mode privilégié de diffusion scientifique – et au tempérament de Fermat, magistrat occupé qui cultive les mathématiques en amateur éclairé. Ses contemporains doivent souvent reconstruire ses raisonnements à partir d’énoncés laconiques, ce qui stimule paradoxalement la créativité collective.

Méthode scientifique et philosophie naturelle

Le principe de moindre temps en optique

Vers 1657, Fermat énonce ce qui deviendra le principe fondamental de l’optique géométrique. Contre la conception cartésienne qui explique la réfraction par analogie mécanique avec une balle traversant deux milieux, Fermat propose une approche téléologique : la lumière se propage d’un point à un autre en empruntant le trajet qui minimise le temps de parcours.

Ce principe de moindre temps – ou principe de Fermat – soulève des questions majeures. En postulant que la nature agit par « les moyens les plus aisés » et « le temps le plus court », Fermat réintroduit une forme de finalité dans l’explication physique. Cette économie de la nature suggère une rationalité immanente au monde physique, une idée qui rencontre à la fois l’adhésion des penseurs chrétiens et la méfiance des mécanistes stricts.

Le principe permet de retrouver mathématiquement les lois de la réflexion et de la réfraction. Plus fondamentalement, il inaugure une nouvelle manière de penser les phénomènes naturels : au lieu de décrire des causes efficientes agissant mécaniquement, on formule un principe général dont les lois particulières découlent nécessairement. Cette approche préfigure les développements ultérieurs de la physique mathématique, de Maupertuis à Lagrange, jusqu’aux formulations modernes de la mécanique quantique.

Méthode de l’adéquation et fondements du calcul

En 1636, Fermat fait circuler parmi ses correspondants un traité intitulé Methodus ad disquirendam maximam et minimam (Méthode pour rechercher les maxima et les minima). Il y développe une technique – l’adéquation – pour déterminer les extrema et les tangentes aux courbes.

L’adéquation consiste à égaliser deux expressions presque égales, puis à simplifier en négligeant les termes infiniment petits. Cette méthode, qui anticipe le calcul différentiel de Leibniz et Newton, repose sur une intuition géométrique profonde : au voisinage d’un maximum ou d’un minimum, la variation d’une quantité devient infinitésimale. Fermat transforme cette idée en procédure algorithmique.

La controverse avec Descartes sur la méthode des tangentes révèle des divergences philosophiques. Descartes cherche une méthode algébrique universelle fondée sur des règles générales. Fermat privilégie l’adaptation de la méthode à la structure du problème particulier, dans une démarche plus souple et moins systématique. Cette opposition méthodologique reflète deux conceptions du rationalisme : l’une déductive et architectonique, l’autre heuristique et pragmatique.

Probabilités et rationalité du hasard

En 1654, Antoine Gombaud, chevalier de Méré, soumet à Pascal et Fermat le « problème des partis » : comment répartir équitablement les mises entre deux joueurs obligés d’interrompre leur partie ? Cette question apparemment ludique cache un problème philosophique fondamental : peut-on rationaliser l’incertain et soumettre le hasard au calcul ?

Pascal et Fermat résolvent le problème par des méthodes différentes mais convergentes. Fermat utilise l’analyse combinatoire, dénombrant tous les résultats possibles des parties fictives restant à jouer. Pascal développe un raisonnement par récurrence. Leur correspondance de juillet-août 1654 inaugure le calcul des probabilités comme domaine mathématique autonome.

Cette naissance des probabilités possède une portée épistémologique considérable. Elle implique qu’on peut mesurer rationnellement des degrés de croyance, quantifier l’incertitude, prendre des décisions optimales dans des situations où la connaissance complète demeure impossible. Le hasard n’est plus l’irrationnel par excellence, mais devient objet de science. Cette transformation marque un tournant dans la conception moderne de la rationalité.

Arithmétique et philosophie des mathématiques

Théorie des nombres et principes généraux

La lecture de l’Arithmetica de Diophante d’Alexandrie, rééditée en latin par Claude-Gaspard Bachet en 1621, oriente Fermat vers l’arithmétique. Il annote abondamment son exemplaire, formulant des propositions et des conjectures sans toujours en donner la démonstration.

Fermat cherche les lois gouvernant les propriétés des nombres entiers. Il découvre le « petit théorème de Fermat » : pour tout nombre premier p et tout entier a non divisible par p, la puissance a^(p−1) − 1 est divisible par p. Il établit que tout nombre premier de la forme 4n + 1 s’écrit comme somme de deux carrés. Ces résultats ne procèdent pas d’un empirisme aveugle mais d’une recherche systématique des structures.

La méthode de la descente infinie constitue l’innovation méthodologique majeure de Fermat en arithmétique. Pour démontrer qu’une équation n’a pas de solution entière, Fermat montre que si une solution existait, on pourrait en construire une plus petite, et ainsi de suite indéfiniment – ce qui contredit la finitude des entiers positifs. Cette technique incarne une forme particulière de raisonnement par l’absurde, exploitant les propriétés ordinales des nombres naturels.

Le dernier théorème et ses implications épistémologiques

Dans la marge de son exemplaire de Diophante, Fermat inscrit la note la plus célèbre de l’histoire des mathématiques : pour tout entier n supérieur à 2, l’équation x^n + y^n = z^n n’admet aucune solution en nombres entiers positifs. Il ajoute : « J’ai trouvé une démonstration véritablement merveilleuse, mais la marge est trop étroite pour la contenir. »

Cette affirmation sans preuve pose une question épistémologique : un énoncé mathématique existe-t-il indépendamment de sa démonstration ? Peut-on affirmer la vérité d’une proposition qu’on ne sait pas prouver ? Fermat avait-il réellement une démonstration – probablement erronée au regard de la complexité de la preuve qui ne sera fournie qu’en 1994 par Andrew Wiles – ou s’agissait-il d’une intuition forte mais non formalisée ?

Le « dernier théorème de Fermat » traverse trois siècles d’histoire mathématique. Euler démontre le cas n = 3, Dirichlet et Legendre le cas n = 5, Kummer établit le résultat pour une classe importante d’exposants. La quête de cette démonstration stimule le développement de théories algébriques entièrement nouvelles. L’énoncé simple de Fermat devient ainsi le germe d’édifices mathématiques que son auteur ne pouvait imaginer.

Dernières années et transmission

Activité scientifique tardive et synthèses

Dans les années 1650, alors que Fermat approche de la soixantaine et que ses obligations parlementaires s’alourdissent, son activité mathématique se poursuit avec constance. En 1657, il rédige sa Synthèse pour les réfractions, exposé systématique de son principe optique. En 1659, il lance des défis aux mathématiciens européens sur des problèmes d’analyse indéterminée, relançant l’émulation scientifique.

Cette période tardive ne produit pas de découvertes radicalement nouvelles mais approfondit et systématise les intuitions des décennies précédentes. Fermat apparaît soucieux de clarifier sa méthode, de formaliser ses procédures, peut-être conscient que la transmission de son œuvre ne pourra s’effectuer qu’à travers des écrits plus explicites.

La correspondance avec Christiaan Huygens, jeune prodige néerlandais, témoigne de cette volonté de transmission. Huygens, visitant Paris en 1655, s’intéresse aux travaux de Fermat sur les probabilités. Les échanges qui s’ensuivent permettent à la génération montante de s’approprier les méthodes de Fermat et de les prolonger dans des directions nouvelles.

Mort et publication posthume

Fermat meurt le 12 janvier 1665 à Castres, où il siégeait à la chambre de l’Édit. Il est inhumé le lendemain, probablement dans la chapelle des dominicains, conformément à son souhait testamentaire de funérailles « avec le moins de frais et d’éclat qu’il se pourra ». Cette humilité finale correspond au caractère d’un homme qui n’a jamais recherché la gloire personnelle.

La reconnaissance posthume s’organise rapidement. Le 9 février 1665, le Journal des Savants publie un éloge, probablement inspiré par Pierre de Carcavi, membre de l’Académie royale des sciences et correspondant régulier de Fermat. Cet hommage souligne les contributions à la géométrie, à l’arithmétique et à l’optique.

Son fils Clément-Samuel entreprend l’édition de ses œuvres. En 1670 paraît une édition de l’Arithmetica de Diophante incluant les annotations marginales de son père. En 1679, les Varia Opera Mathematica rassemblent ses principaux mémoires. Ces publications permettent aux mathématiciens du XVIIIᵉ siècle – Euler au premier chef – de connaître l’œuvre de Fermat et d’en poursuivre le développement.

Héritage philosophique et scientifique

Influence sur l’épistémologie moderne

L’apport de Fermat à la philosophie des sciences dépasse largement ses découvertes techniques. Il incarne une conception de la recherche scientifique fondée sur la circulation des idées plutôt que sur la publication formelle. Le réseau épistolaire qu’il anime avec Mersenne préfigure les académies scientifiques et les revues savantes qui structureront la science moderne.

Sa méthode scientifique se caractérise par la recherche de principes généraux dont les lois particulières découlent logiquement. Cette démarche rationnelle, qui procède du général au particulier, distingue le rationalisme moderne de l’empirisme inductif. En optique comme en arithmétique, Fermat cherche les structures invariantes qui gouvernent les phénomènes, anticipant ainsi la démarche axiomatique, c’est à dire basée sur des propositions évidentes qui servent à démontrer la suite du raisonnement, qui triomphera au XIXᵉ siècle.

Le statut épistémologique de la méthode de l’adéquation soulève des questions philosophiques durables sur les fondements du calcul infinitésimal. Comment justifier rigoureusement des procédures qui manipulent des quantités infiniment petites ? Cette interrogation ne trouvera de réponse satisfaisante qu’au XIXᵉ siècle avec la formalisation rigoureuse de l’analyse par Cauchy et Weierstrass.

Postérité en théorie des nombres

L’arithmétique de Fermat inaugure une tradition de recherche qui se prolonge jusqu’à nos jours. Leonhard Euler, au XVIIIᵉ siècle, reprend systématiquement les énoncés de Fermat et en fournit les démonstrations, développant au passage de puissants outils algébriques. Carl Friedrich Gauss édifie au début du XIXᵉ siècle la théorie moderne des nombres, reconnaissant explicitement sa dette envers Fermat.

La théorie algébrique des nombres, qui émerge au XIXᵉ siècle avec Kummer et Dedekind, procède directement des questions soulevées par le dernier théorème de Fermat. Les tentatives pour démontrer ce théorème conduisent à la découverte des corps de nombres algébriques, des idéaux, des anneaux de Dedekind – concepts fondamentaux de l’algèbre moderne.

La preuve finale d’Andrew Wiles en 1994, qui mobilise les courbes elliptiques, les formes modulaires et la théorie de Galois, témoigne de la fécondité extraordinaire d’un énoncé apparemment simple. Fermat a posé une question qui a structuré trois siècles de recherche mathématique, stimulant l’invention de théories d’une profondeur et d’une puissance qu’il ne pouvait imaginer.

Actualité de la pensée de Fermat

La philosophie naturelle de Fermat conserve une pertinence contemporaine. Le principe variationnel qu’il formule en optique connaît des généralisations spectaculaires. Le principe de moindre action, développé par Maupertuis et Lagrange, unifie la mécanique classique. La formulation lagrangienne de la physique, qui recherche les trajectoires rendant stationnaire une certaine quantité appelée action, prolonge directement l’intuition de Fermat.

La mécanique quantique de Feynman reformule le principe de Fermat en termes d’intégrales de chemin : une particule quantique emprunte simultanément tous les chemins possibles, chacun contribuant avec une phase déterminée par l’action. Cette réinterprétation quantique du principe de moindre temps révèle la profondeur philosophique de l’approche téléologique que Fermat avait introduite en optique.

En théorie de la complexité algorithmique et en cryptographie moderne, les résultats arithmétiques de Fermat trouvent des applications directes. Le petit théorème de Fermat sous-tend les tests de primalité probabilistes. Les mathématiques que Fermat cultivait pour leur beauté intrinsèque servent aujourd’hui de fondement à la sécurité informatique, illustrant l’imprévisibilité des applications pratiques de la recherche fondamentale.

Un rationalisme méthodologique

Pierre de Fermat incarne une figure singulière dans l’histoire de la pensée : le savant amateur qui façonne profondément la science de son temps. Magistrat consciencieux et mathématicien passionné, il refuse la professionnalisation naissante du métier de savant, préservant l’autonomie intellectuelle de celui qui cherche pour le plaisir de comprendre.

Sa contribution philosophique réside moins dans une doctrine systématique que dans une méthode et un style de pensée. La recherche des principes généraux, l’exigence de rigueur démonstrative, la valorisation de l’élégance formelle, la collaboration à distance au sein d’une communauté savante : ces traits dessinent une conception de la rationalité scientifique qui demeure actuelle.

L’œuvre de Fermat témoigne que la philosophie naturelle ne se sépare pas des mathématiques mais se nourrit de leur développement. En refondant l’arithmétique, en créant les probabilités, en formulant le principe variationnel de l’optique, Fermat contribue à établir cette nouvelle conception du monde où la nature s’écrit en langage mathématique – conception qui définit la modernité scientifique. Son héritage perdure dans chaque tentative de saisir rationnellement la structure profonde du réel.