Jacques Bernoulli (1654–1705) : fondateur de la théorie des probabilités et pionnier du calcul infinitésimal

Jacques Bernoulli incarne la figure du savant du Grand Siècle qui réconcilie rigueur mathématique et préoccupations théologiques. Premier d’une lignée familiale exceptionnelle, il pose les fondements de la théorie moderne des probabilités tout en perfectionnant le calcul infinitésimal leibnizien.Il a été le premier à associer la probabilité non seulement aux jeux de hasard, mais aussi à un degré mesurable de certitude dans les processus de décision.

En raccourci

Né à Bâle en 1654 dans une famille de commerçants protestants, Jacques Bernoulli étudie d’abord la théologie selon la volonté paternelle, avant de se consacrer secrètement aux mathématiques et à l’astronomie. Sa devise « Invito sidera verso » (J’étudie les étoiles contre la volonté de mon père) témoigne de cette tension initiale.

Après ses voyages de formation à travers l’Europe (1676–1682), il devient professeur de mathématiques à l’université de Bâle en 1687. Correspondant assidu de Leibniz, il assimile et perfectionne le calcul infinitésimal, introduisant notamment l’expression « calcul intégral ». Son œuvre majeure, l’Ars conjectandi, publiée posthume en 1713, fonde la théorie statistique des probabilités et présente la célèbre loi des grands nombres.

Bernoulli conçoit les probabilités comme un instrument rationnel pour mesurer la certitude dans les domaines civil, moral et économique. Son approche mathématique du hasard ouvre ainsi la voie à une mathématisation du monde social. La spirale logarithmique gravée sur sa tombe, accompagnée de la devise « Eadem mutata resurgo » (Changé, je ressuscite identique), symbolise son union profonde entre foi religieuse et science mathématique.

Origines familiales et vocation contrariée

Une dynastie marchande protestante

Fuyant les persécutions espagnoles contre les protestants néerlandais, la famille Bernoulli s’établit à Bâle en 1622. Nicolas Bernoulli et son épouse Margaretha Schönauer prospèrent dans le commerce des épices d’Extrême-Orient, s’intégrant à l’élite économique de la ville. Le 27 décembre 1654 naît leur fils Jacques, destiné selon la volonté paternelle à une carrière ecclésiastique.

Manifestant précocement une intelligence remarquable, l’enfant obtient l’autorisation d’entrer à l’université de Bâle pour y étudier la philosophie, préparation ordinaire aux études théologiques. Paradoxalement, cette formation ouvre la voie à une passion secrète. Pendant ses années universitaires, Bernoulli s’initie en autodidacte aux mathématiques, à la physique et à l’astronomie.

Études théologiques et rébellion intellectuelle

À seize ans, en 1671, il obtient le grade de Magister Artium en philosophie. Cinq ans plus tard, en 1676, il reçoit la licence en théologie. Ses prédications en allemand et en français reçoivent un accueil favorable. Dès dix-huit ans toutefois, il résout un difficile problema chronologica, attestant de sa maîtrise mathématique précoce.

Sa devise personnelle, « Invito sidera verso » (J’étudie les étoiles contre la volonté de mon père), formule avec ironie cette rébellion intellectuelle. Nicolas Bernoulli finit par accepter cette inclination. Après 1676, Jacques part pour Genève où il exerce durant un an comme répétiteur de mathématiques, marquant sa transition définitive vers la science.

Voyages de formation et premiers travaux

Périple européen (1678–1682)

En 1678 débute un voyage formateur qui se prolonge jusqu’en 1682. Bernoulli séjourne d’abord deux ans en France, fréquentant d’anciens disciples de René Descartes et s’imprégnant de la philosophie naturelle cartésienne. En 1681, il gagne les Pays-Bas où il rencontre Johan Hudde, précurseur du calcul différentiel. L’année suivante, il traverse la Manche et fait en Grande-Bretagne la connaissance de Robert Boyle et Robert Hooke.

Durant ces voyages, il rédige son premier mémoire scientifique, Conamen novi systematis cometarum (Projet d’une nouvelle mécanique des comètes), publié à Amsterdam en 1682. Bien accueilli, ce texte propose une théorie cométaire qui s’avérera inexacte. Les correspondances nouées pendant cette période constituent un réseau intellectuel européen durable qui soutiendra ses recherches ultérieures.

Carrière professorale et maîtrise du calcul infinitésimal

Installation à Bâle et ascension académique

Rentré à Bâle en 1682, Bernoulli dispense dès 1683 des cours privés de physique expérimentale. En 1684, il épouse Judith Stupanus et accepte une chaire d’enseignement à l’université. Le couple aura deux enfants qui, fait exceptionnel dans cette famille, ne s’orienteront pas vers les sciences. Trois ans plus tard, en 1687, il accède à la prestigieuse chaire de mathématiques qu’il conservera jusqu’à sa mort.

Assimilation et perfectionnement du calcul leibnizien

En 1687, Bernoulli écrit à Gottfried Wilhelm Leibniz pour solliciter des éclaircissements sur le calcul infinitésimal publié dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz ne répond qu’en 1690. Durant ces trois années d’attente, Bernoulli assimile par lui-même le nouveau calcul. Il devient ainsi le premier savant à comprendre pleinement et à perfectionner ces méthodes, se distinguant par la rapidité et la profondeur de son assimilation.

Initiant son frère Jean à l’analyse mathématique, il multiplie les applications du calcul infinitésimal à la mécanique et à la géométrie. Vers 1690, il introduit l’expression « calcul intégral » pour remplacer le « calcul sommatoire » de Leibniz. Cette innovation terminologique traduit une conception précise : le calcul intégral permet d’exprimer le tout à partir de la partie.

Contributions mathématiques majeures

Géométrie analytique et courbes

Bernoulli étudie en détail la chaînette, courbe que décrit un câble flexible suspendu par ses extrémités, et analyse la forme d’une voile soumise au vent. En mai 1690, dans un article des Acta Eruditorum, il démontre que le problème de la courbe isochrone équivaut à la résolution d’une équation différentielle non linéaire du premier ordre. L’équation qu’il établit s’écrit sous la forme x³ = ay².

En 1691, il soumet à la communauté savante le problème de la lame élastique : déterminer la forme d’une lame fixée perpendiculairement à un plan et pliée par un poids attaché à son extrémité. Ce problème pose les bases de la théorie systématique de l’élasticité. Avec son frère Jean, il s’attaque également au problème de la brachistochrone, posant ainsi les fondements du calcul des variations qu’Euler systématisera au siècle suivant.

Coordonnées polaires et spirale logarithmique

Bernoulli introduit pour la première fois les coordonnées polaires en géométrie analytique, innovation technique qui facilite l’étude de certaines courbes. Il l’applique notamment à l’analyse de la spirale logarithmique, qui le fascine en raison de ses propriétés d’invariance. Toute similitude transforme cette courbe en elle-même. Bernoulli perçoit dans cette auto-similitude un symbole puissant de permanence dans le changement, thème qui résonne avec ses convictions religieuses sur la résurrection.

Séries numériques et nombres de Bernoulli

Bernoulli établit que la série harmonique ∑1/n diverge. Il croit ce résultat nouveau, ignorant que Nicole Oresme l’avait démontré au XIVᵉ siècle. Il étudie également la série ∑1/n², démontrant qu’elle converge vers une limite finie inférieure à 2, sans parvenir à déterminer la valeur exacte. Ce « problème de Bâle » sera résolu en 1737 par Euler (π²/6).

Dans le cadre de ses recherches sur les séries d’exponentielles, nécessaires pour le calcul des intérêts composés, Bernoulli introduit les nombres qui porteront son nom. Ils apparaissent lors de l’étude de la somme des puissances n-ièmes des k premiers entiers. Définis récursivement, ces nombres se montrent fondamentaux pour la théorie des nombres et le calcul différentiel.

## L’Ars conjectandi : mathématiser l’incertain

Genèse d’une œuvre majeure

Entre 1684 et 1689, Bernoulli rédige son œuvre majeure, l’Ars conjectandi (Art de la conjecture). À trente ans, il n’a pas encore lu l’ouvrage de Pascal sur le triangle arithmétique ni le traité de de Witt sur les rentes viagères. Leibniz lui fournit en revanche les travaux de Pascal et de Christiaan Huygens, sur lesquels il fonde largement son analyse. Il s’appuie également sur la Logique de Port-Royal et les Bills of Mortality de John Graunt.

L’œuvre demeure inachevée à sa mort en 1705, bien que l’essentiel soit rédigé dès 1690. Bernoulli considère cet ouvrage comme son apport le plus important, non pour son contenu mathématique proprement dit, mais pour les fondements qu’il établit pour la science en général.

Structure et contenu du traité

Le traité se divise en quatre parties. La première propose un commentaire approfondi du De ratiociniis in ludo aleae (1657) de Huygens, développant la notion d’espérance mathématique et introduisant la distribution binomiale. La deuxième partie approfondit les mathématiques combinatoires, traitant des permutations et combinaisons. Les nombres de Bernoulli y font leur première apparition.

La troisième partie applique les méthodes probabilistes à vingt-quatre jeux de hasard spécifiques. La quatrième partie, la plus ambitieuse mais inachevée, porte sur « l’usage et l’application de la doctrine précédente aux affaires civiles, morales et économiques ». Bernoulli y présente sa fameuse loi des grands nombres, qu’il nomme son « théorème d’or ».

Probabilité comme mesure de la certitude

Le cœur philosophique de l’Ars conjectandi réside dans la conception nouvelle que Bernoulli propose de la probabilité. Pour lui, la probabilité constitue un degré mesurable de certitude. Cette définition marque une rupture conceptuelle majeure : la probabilité cesse d’être simplement le rapport de cas favorables sur cas possibles pour devenir une mesure générale de la certitude dans les situations d’incertitude.

La loi des grands nombres établit que lorsqu’une expérience aléatoire est répétée un grand nombre de fois, la fréquence observée d’un événement se rapproche de sa probabilité théorique. Cette loi fonde la technique des sondages et justifie l’inférence statistique. Elle permet d’assigner des probabilités à des événements sans symétrie physique inhérente, comme les chances de mourir à un certain âge. Il suffit de compter la fréquence d’occurrence dans un grand nombre de cas observés.

Portée épistémologique

Bernoulli conçoit son traité comme un instrument de rationalisation du monde social. La théorie des probabilités doit permettre de raisonner rigoureusement dans des situations où l’information est insuffisante, comme dans les tribunaux ou pour les jugements moraux. Dans sa perspective, la mathématisation de l’incertitude participe d’un projet plus vaste : libérer la science des dogmes et des postulats non fondés.

Deux ans avant sa mort, Bernoulli tente désespérément d’obtenir de Leibniz des données quantitatives qui lui permettraient d’illustrer ses découvertes par des exemples convaincants. Cette quête de données empiriques témoigne de sa conscience aiguë que ses contemporains peinent à suivre ses idées abstraites.

Tensions scientifiques et reconnaissance

Rivalité fraternelle

Bien que Bernoulli ait initié son frère Jean aux mathématiques et au calcul infinitésimal, leurs relations se détériorent progressivement. À partir de 1692, des tensions apparaissent qui éclatent ouvertement en 1694. La rivalité atteint son paroxysme en 1705 lorsque Jean revient à Bâle. Jacques écrit alors à Leibniz que son frère n’est pas venu pour le grec mais pour s’emparer de sa chaire de mathématiques. Effectivement, après le décès de Jacques en août 1705, Jean lui succède immédiatement.

Santé déclinante et honneurs académiques

En 1691, Bernoulli entre en conflit avec les autorités universitaires bâloises. Accusant publiquement l’université de certaines pratiques, il subit en mai une décision le privant de sa chaire. Contraint de présenter des excuses au recteur, il obtient le retrait de cette sanction en novembre. Dès 1692, sa santé se dégrade. Une toux dangereuse apparaît, suivie de la goutte, qui évolue finalement en fièvre consomptive.

Malgré ces difficultés, Bernoulli reçoit la reconnaissance de ses pairs. En 1699, l’Académie des sciences de Paris l’élit membre associé étranger. En 1702, l’Académie de Berlin lui décerne le même honneur. Sa correspondance avec Leibniz demeure particulièrement nourrie. Entre 1703 et 1705, les deux savants échangent sur la loi des grands nombres, Leibniz formulant des critiques réfléchies.

Mort, postérité et héritage durable

Derniers moments et publication posthume

En 1705, pendant la rédaction finale de l’Ars conjectandi, Bernoulli tombe malade. Il meurt subitement le 16 août 1705, à cinquante ans, laissant son œuvre majeure inachevée. Avant de mourir, il formule une dernière volonté : qu’une spirale logarithmique soit gravée sur sa tombe, accompagnée de la devise latine « Eadem mutata resurgo » (Changé, je ressuscite identique).

Bernoulli est enterré avec tous les honneurs dans la cathédrale de Bâle. Par une erreur du graveur, c’est une spirale d’Archimède qui orne finalement sa sépulture plutôt que la spirale logarithmique qu’il avait demandée. Le manuscrit inachevé de l’Ars conjectandi est confié à son neveu Nicolas Bernoulli. L’ouvrage paraît en 1713, huit ans après la mort de l’auteur, à Bâle chez les frères Thurneysen.

Réception et influence immédiate

La réception initiale de l’Ars conjectandi se montre mitigée. En 1714, les Acta Eruditorum publient une recension défavorable, rédigée anonymement par Leibniz lui-même. Abraham de Moivre s’engage toutefois directement avec les idées de Bernoulli dans son The Doctrine of Chances (1718), développant une formule d’approximation pour les probabilités binomiales et citant explicitement le théorème de Bernoulli.

Fondation de la statistique moderne

La loi des grands nombres constitue l’héritage le plus durable de Bernoulli. Elle fonde la statistique inférentielle, c’est-à-dire la possibilité de tirer des conclusions sur une population entière à partir de l’observation d’un échantillon. Sans cette loi, les sondages, les études cliniques, les contrôles de qualité industrielle et l’ensemble des sciences empiriques seraient privés de leur assise mathématique.

Siméon Denis Poisson reprend et développe la loi de Bernoulli dans ses Recherches sur la probabilité des jugements (1837). Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de nombreux domaines mathématiques, du calcul différentiel à la topologie algébrique. L’introduction du terme « calcul intégral » s’impose rapidement et supplante définitivement le « calcul sommatoire » leibnizien.

Place dans l’histoire de la pensée rationnelle

Bernoulli incarne la conviction rationaliste du XVIIᵉ siècle selon laquelle la raison mathématique peut s’étendre à tous les domaines de la connaissance. Son projet de mathématiser l’incertitude et de l’appliquer aux « affaires civiles, morales et économiques » préfigure les sciences sociales quantitatives qui se développeront aux XIXᵉ et XXᵉ siècles. L’économétrie, la démographie mathématique, l’épidémiologie statistique descendent toutes en ligne directe de l’Ars conjectandi.

Sa conception de la probabilité comme degré mesurable de certitude ouvre un débat philosophique qui perdure jusqu’à aujourd’hui. Faut-il interpréter les probabilités de manière objective (fréquences réelles) ou subjective (degrés de croyance) ? La position de Bernoulli, qui fonde les probabilités sur les fréquences observées via la loi des grands nombres, privilégie l’interprétation fréquentiste qui dominera la statistique classique.

Figure inaugurale d’une dynastie scientifique

Bernoulli établit le modèle que suivront les générations suivantes de sa famille. Son frère Jean, son neveu Daniel, et plusieurs autres descendants perpétuent durant près d’un siècle une tradition d’excellence mathématique unique dans l’histoire des sciences. Paul Euler, père du grand Leonhard Euler, étudie les mathématiques auprès de Jacques Bernoulli. Euler lui-même reconnaîtra sa dette envers les frères Bernoulli pour leur rôle dans le développement du calcul infinitésimal.

L’œuvre de Jacques Bernoulli marque ainsi un moment charnière dans l’histoire de la pensée rationnelle : elle pose les fondements mathématiques de la science de l’incertain tout en achevant l’assimilation du calcul infinitésimal leibnizien. Le savant bâlois lègue à la postérité des outils conceptuels dont la fécondité ne s’est pas démentie depuis trois siècles.