Daniel Bernoulli (1700–1782) : l’application des mathématiques à la physique et à la philosophie naturelle

Daniel Bernoulli, neveu de Jacques Bernoulli compte parmi les figures majeures de la physique mathématique du XVIIIᵉ siècle. Mathématicien, physicien et médecin, il applique systématiquement le calcul infinitésimal aux phénomènes naturels et établit des ponts entre disciplines qui semblaient séparées. Il explique pourquoi les individus sont averses au risque et sont prêts à payer pour une assurance, même si l’espérance mathématique est en leur défaveur. Il est la base de la théorie de l’utilité espérée, qui est encore aujourd’hui au cœur de la finance et de la théorie de la décision. Son œuvre anticipe des développements scientifiques qui ne s’affirmeront pleinement qu’au siècle suivant.

En raccourci

Né dans une lignée illustre de mathématiciens, Daniel Bernoulli doit d’abord étudier la médecine sur injonction paternelle avant de pouvoir se consacrer aux mathématiques. Entre 1724 et 1733, il enseigne à l’Académie de Saint-Pétersbourg où il élabore les fondements de son œuvre maîtresse, l’Hydrodynamica (1738), qui applique le principe de conservation de l’énergie à l’étude des fluides.

Son apport dépasse la mécanique des fluides. Dans son analyse du paradoxe de Saint-Pétersbourg, il introduit la notion d’utilité marginale décroissante, fondant ainsi l’économie du risque. En 1760, il conçoit le premier modèle mathématique en épidémiologie pour évaluer l’efficacité de l’inoculation contre la variole, anticipant les méthodes modernes de santé publique.

De retour à Bâle en 1733, Bernoulli occupe successivement les chaires d’anatomie, de botanique, de métaphysique et de philosophie naturelle jusqu’à sa mort en 1782. Couronné dix fois par l’Académie des Sciences de Paris et élu membre de la Royal Society, il laisse une œuvre qui établit durablement les mathématiques comme langage privilégié de compréhension du monde physique.

Origines familiales et formation contrariée

Une dynastie mathématique

Le 8 février 1700 naît à Groningue, aux Pays-Bas, Daniel Bernoulli. Sa famille incarne l’excellence mathématique du tournant du XVIIIᵉ siècle. Son père, Johann Bernoulli, occupe alors la chaire de mathématiques de l’université de Groningue ; son oncle, Jacques Bernoulli, s’est imposé parmi les pionniers du calcul des probabilités. Originaire d’Anvers, la famille a fui les persécutions religieuses contre les protestants pour s’établir à Bâle à la fin du XVIᵉ siècle, où le grand-père a prospéré dans le commerce des épices.

Lorsque Daniel atteint l’âge de cinq ans, la famille retourne à Bâle. Johann Bernoulli vient d’hériter de la chaire de mathématiques laissée vacante par le décès de son frère Jacques. Cette atmosphère intellectuelle imprègne l’enfance de Daniel, qui grandit au contact quotidien des débats scientifiques de son temps. Son frère aîné Nicolas et son cadet Johann suivront également des carrières mathématiques, perpétuant une tradition familiale devenue légendaire dans l’Europe savante.

L’opposition paternelle

Paradoxalement, Johann Bernoulli, qui avait lui-même résisté à l’intention de son père de le destiner au commerce, reproduit ce conflit avec Daniel. Conscient de la faible rémunération des mathématiciens, il souhaite orienter son fils vers une carrière plus lucrative. À treize ans, Daniel entre à l’université de Bâle pour étudier la philosophie et la logique, obtenant son baccalauréat en 1715 puis sa maîtrise l’année suivante. Parallèlement, il apprend clandestinement les méthodes du calcul infinitésimal auprès de son père et de son frère aîné Nicolas.

Les tentatives paternelles pour imposer un apprentissage commercial échouent face à la détermination du jeune homme. Un compromis s’établit : Daniel étudiera la médecine, à condition que son père continue de l’instruire en mathématiques. Entre 1718 et 1720, il poursuit donc des études médicales à Heidelberg, Strasbourg et Bâle. Sa thèse de doctorat, soutenue en 1721, porte sur la mécanique de la respiration et applique déjà les principes mathématiques aux phénomènes physiologiques. Dès cette époque, son approche se distingue par la volonté de soumettre l’observation médicale à l’analyse quantitative, préfigurant son œuvre ultérieure.

Premières recherches et reconnaissance

Docteur en médecine mais aspirant à une carrière académique, Bernoulli postule à deux chaires à Bâle en anatomie-botanique puis en logique. Dans les deux cas, la sélection finale s’opère par tirage au sort selon une procédure en usage à l’époque ; dans les deux cas, la chance lui fait défaut. En 1723, il part donc perfectionner sa formation médicale à Venise auprès du médecin Pietro Antonio Michelotti.

Durant son séjour italien, Bernoulli ne délaisse pas les mathématiques. Il conçoit un système d’horloge à eau capable de fonctionner en mer malgré les mouvements du navire, invention qui lui vaut un prix de l’Académie des Sciences de Paris. En 1724 paraît son premier ouvrage mathématique, les Exercitationes quaedam Mathematicae, portant sur les équations différentielles et la physique de l’écoulement des fluides. Cet essai précoce attire l’attention de l’Académie de Saint-Pétersbourg, nouvellement créée par Pierre le Grand pour moderniser la Russie selon le modèle occidental.

Saint-Pétersbourg et l’élaboration de l’Hydrodynamica

Un séjour productif mais difficile

En 1724, Bernoulli accepte un poste de professeur de mathématiques à l’Académie impériale de Saint-Pétersbourg. Son frère aîné Nicolas l’accompagne pour occuper une chaire similaire, mais meurt de tuberculose l’année suivante. Cette perte affecte profondément Daniel, qui peine à s’adapter au climat rigoureux et à l’isolement culturel de la capitale russe. Les difficultés matérielles s’ajoutent aux tribulations personnelles : des désaccords sur son salaire, une maladie temporaire et la censure exercée par l’Église orthodoxe russe contribuent à son mécontentement.

Néanmoins, ces années russes se révèlent scientifiquement fécondes. Bernoulli noue une amitié durable avec Leonhard Euler, ancien élève de son père qui le rejoint à l’Académie. Ensemble, ils abordent des problèmes variés : propriétés des corps en vibration et en rotation, équations de cordes vibrantes, problèmes de frottement. Cette collaboration stimulante permet à Bernoulli d’approfondir ses réflexions sur la mécanique, domaine où il applique systématiquement le calcul différentiel et intégral mis au point par Leibniz et perfectionné par son père et son oncle.

L’Hydrodynamica : un principe unificateur

Durant son séjour à Saint-Pétersbourg, Bernoulli rédige une première version de son œuvre maîtresse, l’Hydrodynamica, achevée en 1733 mais publiée à Strasbourg en 1738 seulement. Cet ouvrage expose les propriétés fondamentales de l’écoulement des fluides : pression, densité et vitesse. Bernoulli y établit la relation entre ces grandeurs en partant du principe de conservation de la vis viva, forme précoce du concept moderne d’énergie cinétique. Selon ce principe, dans un fluide en écoulement stationnaire, l’augmentation de vitesse s’accompagne d’une diminution de pression. Ce théorème, aujourd’hui connu sous le nom de principe de Bernoulli, demeure un pilier de l’hydrodynamique et de l’aérodynamique.

L’ouvrage ne se limite pas à la mécanique des fluides liquides. Dans son dixième chapitre, Bernoulli développe une théorie cinétique des gaz où il interprète la pression comme résultant du choc des molécules gazeuses sur les parois du contenant. Il postule que la température d’un gaz s’accroît avec l’agitation moléculaire, anticipant ainsi d’un siècle les travaux de James Clerk Maxwell sur la théorie cinétique. Cette approche corpusculaire, bien qu’encore embryonnaire, ouvre la voie à une compréhension microscopique des propriétés macroscopiques de la matière.

Controverse familiale

La parution de l’Hydrodynamica suscite une controverse douloureuse. Johann Bernoulli, jaloux du succès de son fils, publie en 1739 un ouvrage intitulé Hydraulica qu’il antidatera frauduleusement à 1732 pour revendiquer la priorité des découvertes de Daniel. Cette tentative de plagiat paternel heurte profondément Daniel, qui tente en vain de se réconcilier avec son père. Le conflit remonte à 1734, lorsque père et fils partagent ex æquo le premier prix d’un concours scientifique à l’Université de Paris : Johann, incapable de supporter d’être considéré comme l’égal de son fils, bannit alors Daniel de sa maison. Ces rivalités familiales, récurrentes chez les Bernoulli, empoisonnent les relations entre générations et témoignent de l’âpreté des compétitions savantes au XVIIIᵉ siècle.

Théorie de l’utilité et paradoxe de Saint-Pétersbourg

Formulation du paradoxe

En 1738, parallèlement à l’Hydrodynamica, Bernoulli publie dans les Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae un mémoire intitulé Specimen theoriae novae de mensura sortis (Exposition d’une nouvelle théorie sur la mesure du risque). Il y examine un problème qui circulait depuis 1713 parmi les mathématiciens européens : le paradoxe de Saint-Pétersbourg, initialement proposé par son cousin Nicolas Bernoulli.

Le paradoxe se formule ainsi : une pièce de monnaie équilibrée est lancée jusqu’à ce qu’elle tombe sur face. Si face apparaît au premier lancer, le joueur gagne un ducat ; si face apparaît au deuxième lancer, il gagne deux ducats ; au troisième, quatre ducats, et ainsi de suite, la mise doublant à chaque lancer. L’espérance mathématique de gain s’avère infinie, suggérant qu’un joueur rationnel devrait accepter de payer n’importe quelle somme pour participer à ce jeu. Pourtant, observe Bernoulli, aucune personne sensée ne consentirait à miser plus de vingt ducats.

Utilité marginale décroissante

Pour résoudre cette contradiction, Bernoulli introduit une distinction fondamentale entre la valeur monétaire objective et l’utilité subjective qu’un individu retire de cette richesse. Il postule que l’utilité d’un gain supplémentaire diminue à mesure que la richesse totale augmente. Mathématiquement, il propose que l’utilité d’une richesse w soit proportionnelle au logarithme de w. Ainsi, passer de mille à deux mille ducats procure un accroissement d’utilité plus faible que le passage de cent à deux cents ducats, bien que le gain monétaire soit identique dans les deux cas.

Cette hypothèse d’utilité marginale décroissante permet de calculer une espérance d’utilité finie pour le jeu de Saint-Pétersbourg, expliquant ainsi pourquoi personne n’accepte de miser une somme démesurée. L’apport conceptuel dépasse le cadre du paradoxe : Bernoulli fonde l’économie moderne du risque en substituant à la simple espérance monétaire une évaluation tenant compte des préférences individuelles. Cette idée, reprise au XIXᵉ siècle par les marginalistes (William Stanley Jevons, Carl Menger, Léon Walras), structure encore aujourd’hui la théorie de la décision en situation d’incertitude.

Portée philosophique

Au-delà de son application économique, la théorie de l’utilité de Bernoulli possède une dimension philosophique. En distinguant valeur objective et valeur subjective, il reconnaît que les préférences humaines ne se réduisent pas à une maximisation mécanique du gain monétaire.

Les individus pondèrent leurs choix selon leur situation personnelle, leur aversion au risque et leurs besoins spécifiques. Cette prise en compte de la subjectivité dans l’analyse rationnelle des décisions annonce les débats ultérieurs sur les limites du modèle de l’homo œconomicus parfaitement rationnel.

Retour à Bâle et carrière académique polymorphe

Installation définitive

Désireux de quitter Saint-Pétersbourg, Bernoulli saisit l’opportunité d’un poste à l’université de Bâle en 1732. Il y est nommé professeur d’anatomie et de botanique, puis occupe successivement les chaires de physiologie (1743) et de philosophie naturelle (1750), cette dernière correspondant à ce que nous appellerions aujourd’hui physique expérimentale. Cette polyvalence disciplinaire témoigne de l’idéal d’universalité encore vivace au XVIIIᵉ siècle, où un savant complet devait maîtriser aussi bien les sciences mathématiques que naturelles.

Bernoulli demeure à Bâle jusqu’à sa mort. Célibataire, il se consacre entièrement à ses recherches et à son enseignement. Ses cours de physique expérimentale attirent plus d’une centaine d’auditeurs venus de toute l’Europe, témoignant de sa réputation pédagogique. Il correspond régulièrement avec les principaux savants de son temps : Pierre Bouguer, Alexis Clairaut, Pierre Louis Maupertuis et surtout Leonhard Euler, avec qui il maintient une amitié intellectuelle féconde malgré leurs désaccords occasionnels sur des questions mathématiques.

Prix académiques et reconnaissance internationale

Entre 1725 et 1749, Bernoulli remporte à dix reprises le prix de l’Académie des Sciences de Paris pour des mémoires portant sur des sujets variés : astronomie, gravitation, théorie des marées, magnétisme, courants océaniques, comportement des navires en mer. Ces succès répétés attestent de sa capacité à mobiliser les mathématiques pour éclairer des problèmes physiques concrets. En 1750, il est élu membre de la Royal Society de Londres. Il appartient également à plusieurs académies européennes : Saint-Pétersbourg, Berlin, Bologne, Berne, Zurich, Turin, Mannheim.

Au-delà de ses travaux théoriques, Bernoulli s’intéresse aux applications pratiques. En 1737, il présente un mémoire historique où il détaille les calculs nécessaires pour mesurer le travail accompli par le cœur, anticipant certaines méthodes de la physiologie quantitative moderne. Son approche illustre sa conviction profonde qu’aucune discipline n’échappe à la juridiction des mathématiques, conviction qu’il formule explicitement en affirmant qu’il n’existe pas de philosophie qui ne soit fondée sur la connaissance des phénomènes, mais que pour tirer profit de cette connaissance, il est indispensable d’être mathématicien.

Engagement institutionnel

Recteur de l’université de Bâle en 1744 puis en 1756, Bernoulli s’investit dans le développement de son institution. Il effectue des dons monétaires pour l’acquisition d’équipements de laboratoire et l’enrichissement de la bibliothèque. Son prestige attire des étudiants de nombreuses régions d’Europe et contribue au rayonnement de l’université bâloise dans le paysage académique du XVIIIᵉ siècle.

Premier modèle mathématique en épidémiologie

Contexte de la variole au XVIIIᵉ siècle

La variole (petite vérole) représente au XVIIIᵉ siècle un problème de santé publique majeur en Europe. La maladie, extrêmement contagieuse et souvent mortelle, cause environ un treizième de tous les décès. Au début du siècle, une pratique préventive originaire d’Orient commence à se diffuser : l’inoculation (ou variolisation), qui consiste à exposer une personne saine à du matériel prélevé sur un malade présentant une forme bénigne de variole. Cette immunisation artificielle comporte toutefois un risque non négligeable de déclencher une forme grave de la maladie, suscitant de vifs débats sur son opportunité.

Modélisation mathématique du problème

En 1760, encouragé par le mathématicien Pierre Louis Maupertuis, Bernoulli présente devant l’Académie des Sciences de Paris un mémoire intitulé Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir, publié en 1766 seulement. Il s’agit du premier modèle mathématique connu en épidémiologie. Bernoulli divise la population en deux catégories : les susceptibles (non encore infectés) et les immunes (ayant survécu à l’infection). À partir de la table de mortalité établie par Edmund Halley en 1693 pour la ville de Breslau, il construit un système d’équations différentielles décrivant l’évolution de ces deux populations au fil du temps.

Bernoulli suppose que la force d’infection (probabilité de contracter la maladie par unité de temps) et la létalité (proportion de décès parmi les infectés) demeurent constantes. Bien qu’il reconnaisse la simplification excessive de ces hypothèses, les données disponibles ne lui permettent pas d’estimer des paramètres dépendant de l’âge. Ses calculs montrent que l’élimination de la variole augmenterait l’espérance de vie à la naissance de 26 ans et 7 mois à 29 ans et 8 mois, soit un gain de plus de trois ans. Il en conclut que l’inoculation généralisée à la naissance serait bénéfique pour la société, même si le risque de décès dû à l’inoculation atteignait 1 %.

Débat avec d’Alembert

Le mémoire de Bernoulli provoque une réplique immédiate de Jean Le Rond d’Alembert, philosophe et mathématicien influent. Dès novembre 1760, d’Alembert présente à l’Académie une critique du raisonnement de Bernoulli, publiée en 1761, soit cinq ans avant la parution officielle du texte bernouillien. D’Alembert conteste la méthode de Bernoulli en développant une théorie alternative des risques concurrents de décès, applicable également aux maladies non infectieuses. Il soutient que le risque réel de l’inoculation serait dix-sept fois supérieur à celui estimé par Bernoulli.

Cette polémique illustre les difficultés inhérentes à l’application du calcul des probabilités aux questions de vie et de mort. Bernoulli s’en explique dans une lettre à Euler datée d’avril 1768, où il exprime son irritation face aux critiques d’Alembert. Au-delà des divergences techniques, le débat porte sur la légitimité de soumettre les décisions de santé publique à des calculs mathématiques, question qui demeure d’actualité. L’approche de Bernoulli, bien qu’imparfaite, préfigure les modèles compartimentaux modernes en épidémiologie, tels que les modèles SIR (Susceptibles-Infectés-Retirés) développés au XXᵉ siècle.

Dernières années et synthèse intellectuelle

Travaux sur les vibrations et l’acoustique

Dans les dernières décennies de sa vie, Bernoulli poursuit ses recherches sur des questions variées. Il s’intéresse notamment aux problèmes de vibrations, domaine où il entre en controverse avec Leonhard Euler et Jean Le Rond d’Alembert sur la théorie des cordes vibrantes. En 1753, il formule le principe de superposition, selon lequel le mouvement général d’un système vibrant s’obtient par superposition de ses vibrations propres. Ce principe, fondamental en physique ondulatoire, trouve des applications en acoustique, optique et mécanique quantique.

Bernoulli étudie également le mouvement et les phénomènes de compression dans les tuyaux sonores, établissant des lois reliant la fréquence d’un son à la vitesse de propagation et à la longueur du tube. Ces travaux d’acoustique, bien que moins célèbres que l’Hydrodynamica, témoignent de sa volonté constante d’unifier sous un cadre mathématique commun des phénomènes physiques apparemment disparates.

Unité méthodologique de l’œuvre

Au terme de sa carrière, Bernoulli peut se prévaloir d’avoir contribué à des champs aussi divers que la mécanique des fluides, la théorie cinétique des gaz, la théorie des probabilités, l’économie du risque, l’épidémiologie mathématique, la physiologie quantitative et l’acoustique. Cette diversité apparente repose sur une conviction méthodologique unique : les mathématiques constituent l’instrument privilégié d’intelligibilité du monde naturel. Pour Bernoulli, philosophe naturel dans la tradition rationaliste, comprendre un phénomène revient à le soumettre au calcul et à en déduire les lois quantitatives.

Cette approche mathématisante de la nature s’inscrit dans le projet des Lumières de rationalisation du savoir. Bernoulli partage avec ses contemporains la foi en la puissance explicative de la raison et en la possibilité d’améliorer la condition humaine par l’application méthodique des sciences. Sa modélisation de l’inoculation variolique incarne cette ambition : l’analyse mathématique doit éclairer les décisions politiques touchant au bien-être collectif.

Mort et héritage immédiat

Daniel Bernoulli prend sa retraite de l’enseignement en 1776. Il meurt dans son sommeil le 17 mars 1782 à Bâle, à l’âge de 82 ans. Ses funérailles donnent lieu à une cérémonie solennelle où se presse une foule nombreuse de collègues et d’étudiants. L’Académie des Sciences de Paris lui rend hommage par la voix de son secrétaire perpétuel, le marquis de Condorcet, philosophe et mathématicien qui prononce un éloge funèbre soulignant les mérites scientifiques de Bernoulli et le présentant comme un modèle de l’homme de science éclairé.

Postérité et actualité de la pensée bernouillienne

Influence en mécanique des fluides

Le principe de Bernoulli, établissant la relation entre vitesse et pression dans un fluide en écoulement, demeure un pilier de la mécanique des fluides moderne. Au XXᵉ siècle, ce principe trouve des applications décisives dans la conception des ailes d’avion et des carburateurs. L’écoulement plus rapide de l’air sur la surface supérieure d’une aile crée une dépression qui génère la portance permettant le vol. Sans la compréhension bernouillienne de la dynamique des fluides, l’aviation moderne n’aurait pu se développer.

En 1845, Jean-Victor Poncelet qualifie l’Hydrodynamica d’ouvrage immortel. Au XIXᵉ siècle, Paul Du Bois-Reymond souligne l’énorme richesse d’idées qui assure à ce travail l’une des premières places dans l’histoire de la mécanique appliquée. Les ingénieurs hydrauliques s’inspirent des méthodes bernouilliennes pour concevoir canalisations, barrages et turbines.

Fondation de l’économie du risque

L’introduction du concept d’utilité marginale décroissante par Bernoulli marque un tournant dans l’histoire de la pensée économique. Au XIXᵉ siècle, les marginalistes reconnaissent en lui un précurseur. Léon Walras, dans ses Éléments d’économie politique pure (1874), se réfère explicitement à Bernoulli. Au XXᵉ siècle, la théorie de l’utilité espérée, formalisée par John von Neumann et Oskar Morgenstern dans leur Theory of Games and Economic Behavior (1944), systématise les intuitions bernouilliennes.

La finance moderne s’appuie largement sur les concepts d’aversion au risque et d’utilité différenciée introduits par Bernoulli. Les modèles de gestion de portefeuille, les stratégies d’assurance et les techniques d’évaluation des actifs financiers incorporent tous l’idée qu’un agent rationnel ne maximise pas le gain monétaire mais l’utilité espérée, pondérée par ses préférences et sa situation patrimoniale.

Épidémiologie mathématique

Bien que le mémoire de Bernoulli sur l’inoculation soit passé relativement inaperçu de son vivant, il préfigure le développement de l’épidémiologie mathématique. En 1916, Ronald Ross élabore un système d’équations différentielles pour modéliser la propagation du paludisme, posant les bases des modèles SIR (Susceptibles-Infectés-Retirés) qui structurent encore aujourd’hui l’épidémiologie théorique. L’approche de Bernoulli, divisant la population en compartiments et suivant leur évolution temporelle, anticipe cette méthodologie.

Lors de la pandémie de COVID-19, les modèles compartimentaux ont joué un rôle central dans l’élaboration des politiques de santé publique. Les gouvernements ont utilisé ces modèles pour estimer la propagation du virus, évaluer l’efficacité des mesures sanitaires et planifier les campagnes de vaccination. Cette utilisation massive de la modélisation mathématique en temps de crise sanitaire illustre la pertinence durable de l’intuition bernouillienne : soumettre les décisions collectives à l’analyse quantitative.

Place dans l’histoire de la philosophie naturelle

Daniel Bernoulli s’inscrit dans la tradition rationaliste qui, de Descartes à Leibniz, assigne aux mathématiques un statut privilégié dans la compréhension du monde. Son œuvre matérialise le programme d’une physique mathématique où les phénomènes naturels se déduisent de principes généraux formulés en langage mathématique. Ce projet philosophique, hérité de Newton et systématisé par les savants des Lumières, annonce la physique moderne où les lois de la nature s’expriment sous forme d’équations différentielles.

Au-delà de ses contributions techniques, Bernoulli incarne une conception de la rationalité scientifique où théorie et pratique, analyse abstraite et observation empirique se complètent mutuellement. Sa capacité à circuler entre disciplines, à mobiliser les outils mathématiques pour éclairer des problèmes concrets, témoigne d’un idéal d’universalité aujourd’hui rare mais dont l’esprit demeure précieux face à la spécialisation croissante du savoir.

Une figure pionnière de la science moderne

Daniel Bernoulli appartient à cette génération de savants du XVIIIᵉ siècle qui achèvent la mathématisation de la physique inaugurée par Galilée et Newton. Son œuvre, traversant la mécanique des fluides, la théorie cinétique, la théorie des probabilités, l’économie du risque et l’épidémiologie, témoigne de la fécondité d’une approche unifiée où les mathématiques constituent le langage universel des phénomènes naturels. L’actualité de ses contributions — du principe de Bernoulli dans l’aéronautique moderne à la théorie de l’utilité en économie, de la modélisation épidémiologique lors de crises sanitaires aux méthodes de physique statistique — atteste la profondeur de sa vision et la portée de son legs intellectuel.