David Hilbert (1862–1943) : l’architecte des fondements axiomatiques des mathématiques

Mathématicien et philosophe allemand, David Hilbert incarne la volonté d’établir les mathématiques sur des bases rigoureusement axiomatiques. Son programme visant à démontrer la cohérence complète des mathématiques par des méthodes finitaires façonna la logique mathématique du XXᵉ siècle, même après que les théorèmes de Gödel en eurent montré les limites.

En raccourci

Né à Königsberg en 1862, David Hilbert transforme les mathématiques en leur donnant des fondements axiomatiques rigoureux. Après une thèse sur les invariants sous la direction de Lindemann, il rejoint l’université de Göttingen en 1895, qu’il transforme en centre mondial des mathématiques.

Ses travaux révolutionnent plusieurs domaines : la théorie des invariants avec le théorème des bases, l’axiomatisation de la géométrie dans ses Fondements de la géométrie, la théorie algébrique des nombres dans le Zahlbericht. En 1900, au Congrès international des mathématiciens à Paris, il présente une liste de 23 problèmes qui orienteront la recherche mathématique pendant un siècle.

Hilbert développe les espaces qui portent son nom vers 1909, essentiels à la formulation de la mécanique quantique. Dans les années 1920, il élabore son programme formaliste visant à prouver la cohérence des mathématiques par des moyens finitaires, projet ambitieux qui sera remis en cause par les théorèmes d’incomplétude de Gödel en 1931.

Fervent défenseur du progrès scientifique contre tout pessimisme, Hilbert proclame son célèbre credo : « Nous devons savoir, nous saurons ». Retiré en 1930, il assiste impuissant à la destruction de l’Institut de Göttingen par les purges nazies de 1933. Il meurt en 1943, laissant une empreinte indélébile sur la philosophie et les mathématiques du XXᵉ siècle.

Origines et formation dans la tradition prussienne

Une famille bourgeoise de juristes

Königsberg, capitale de la Prusse-Orientale et ville d’Emmanuel Kant, voit naître David Hilbert le 23 janvier 1862. Fils unique d’Otto Hilbert, juge de comté, et de Maria Therese Erdtmann, fille de marchand, le jeune David grandit dans une famille de la bourgeoisie judiciaire prussienne. Son grand-père paternel, également nommé David Hilbert, occupe la fonction de juge et porte le titre de Geheimrat. Les sources divergent sur le lieu exact de naissance — Hilbert lui-même affirme être né à Königsberg, mais certains documents suggèrent Wehlau (aujourd’hui Znamensk), où son père exerce alors.

L’environnement familial marque profondément sa formation intellectuelle. Otto Hilbert transmet à son fils les vertus prussiennes de rigueur et de discipline, tandis que Maria cultive des intérêts pour la philosophie, l’astronomie et les nombres premiers — passions qui influenceront la carrière de son fils. Une sœur, Elise, naît lorsque David a six ans.

Parcours scolaire et premiers apprentissages mathématiques

Entré à l’école à l’âge de huit ans, soit deux ans plus tard que la norme, David débute sa scolarité secondaire fin 1872 au Friedrichskolleg Gymnasium, le même établissement qu’avait fréquenté Kant cent quarante ans plus tôt. Cette première expérience s’avère malheureuse. Fin 1879, il transfère au Wilhelm Gymnasium, davantage orienté vers les sciences, dont il obtient le diplôme début 1880.

À l’automne 1880, Hilbert s’inscrit à l’université de Königsberg, l’Albertina. Début 1882 survient une rencontre déterminante : Hermann Minkowski, de deux ans son cadet et également natif de Königsberg, revient de Berlin pour entrer à l’université. Entre les deux jeunes mathématiciens naît une amitié qui durera toute leur vie. Minkowski, timide mais doué, et Hilbert exercent l’un sur l’autre une influence réciproque constante.

Le cercle de Königsberg et l’émergence d’un mathématicien

En 1884, Adolf Hurwitz arrive de Göttingen comme professeur associé. Un échange scientifique intense et fructueux s’établit entre les trois hommes. Hilbert prépare sa thèse sous la direction de Ferdinand von Lindemann, le mathématicien qui a démontré la transcendance de π. Soutenue en 1885, elle porte sur les propriétés invariantes des fonctions sphériques.

Ce triangle intellectuel Hilbert-Minkowski-Hurwitz constitue le creuset dans lequel se forge la pensée mathématique du jeune docteur. Les discussions passionnées avec ses deux amis élargissent considérablement ses horizons mathématiques au-delà du cadre strict de sa thèse. Cette période pose les fondements de sa vision universelle des mathématiques.

Premiers travaux et affirmation d’un style novateur

Privatdozent à Königsberg

De 1886 à 1895, Hilbert demeure à l’université de Königsberg comme Privatdozent, statut de chargé de cours rémunéré par les inscriptions des étudiants. Durant cette période, il développe ses premiers travaux majeurs sur la théorie des invariants, domaine alors dominé par des calculs lourds et fastidieux.

Ses prédécesseurs, notamment Paul Gordan, avaient obtenu des résultats partiels au prix de démonstrations calculatoires épuisantes. Hilbert adopte une approche radicalement différente : plutôt que de construire explicitement les invariants, il démontre leur existence par des méthodes abstraites et des raisonnements d’existence pure.

Le théorème des bases et la rupture méthodologique

En 1888, Hilbert établit son célèbre théorème des bases, affirmant l’existence d’un ensemble fini de générateurs pour les invariants des formes algébriques, quel que soit le nombre de variables. Vingt ans auparavant, Gordan avait démontré le cas particulier des formes binaires par des calculs complexes. Les tentatives de généralisation avaient toutes échoué face à la complexité combinatoire.

L’approche de Hilbert repose sur des principes abstraits plutôt que sur la construction effective. Cette méthode suscite d’abord la controverse. Kronecker, partisan des méthodes constructives, concède finalement le résultat mais critique l’absence de construction explicite. Hilbert réplique que « plusieurs constructions différentes se trouvent subsumées sous une idée fondamentale » — la preuve d’existence constitue elle-même une forme de construction.

Cette position philosophique annonce le conflit qui opposera plus tard le formalisme hilbertien à l’intuitionnisme de Brouwer. Pour Hilbert, la preuve formelle sur le papier constitue l’objet mathématique lui-même, indépendamment de toute intuition constructive. Kronecker meurt peu après, mais sa philosophie constructiviste ressurgira avec virulence dans les débats des années 1920.

Le Nullstellensatz et ses ramifications

Parmi les résultats de cette période figure également le Nullstellensatz (théorème des zéros), pierre angulaire de la géométrie algébrique moderne. Ce théorème établit une correspondance fondamentale entre idéaux polynomiaux et ensembles algébriques. Sa portée dépasse largement son contexte initial, influençant le développement ultérieur de l’algèbre commutative et de la géométrie algébrique.

Göttingen et l’établissement d’une école mathématique

L’appel de Felix Klein

En 1895, grâce à l’intervention de Felix Klein, figure dominante des mathématiques allemandes, Hilbert obtient une chaire de professeur à l’université de Göttingen. Il n’en partira plus malgré de nombreuses propositions d’autres universités prestigieuses. Cette décision s’avère décisive : durant les décennies suivantes, Göttingen devient le centre nerveux des mathématiques mondiales.

Klein et Hilbert transforment l’institution en aimant pour les talents mathématiques du monde entier. L’atmosphère intellectuelle y est électrique, nourrie par des séminaires réguliers, des conférences de chercheurs internationaux et une politique d’ouverture scientifique sans précédent.

Le Zahlbericht et la théorie algébrique des nombres

Peu après son arrivée, Hilbert se consacre avec Minkowski à une synthèse magistrale de la théorie algébrique des nombres. Le résultat paraît en 1897 sous le titre Zahlbericht (rapport sur les nombres). Cet ouvrage rassemble et unifie les contributions de Kummer, Kronecker, Dedekind et de Hilbert lui-même.

Le Zahlbericht ne se contente pas de compiler : il réorganise conceptuellement tout le domaine, introduisant une terminologie nouvelle et des méthodes systématiques. Hilbert y emploie notamment le terme d’« anneau », dont Fraenkel donnera une définition axiomatique quinze ans plus tard. Cette synthèse monumentale devient rapidement la référence incontournable pour quiconque s’intéresse à la théorie des nombres algébriques.

L’axiomatisation de la géométrie

En 1899, Hilbert publie les Fondements de la géométrie (Grundlagen der Geometrie), ouvrage qui inaugure la méthode axiomatique moderne. Face aux insuffisances de la géométrie euclidienne — dont Euclide et ses successeurs utilisaient implicitement des axiomes jamais explicités — Hilbert reconstruit l’édifice entier sur des bases rigoureuses.

Il organise les axiomes en cinq groupes : axiomes d’incidence, d’ordre, de congruence, de parallélisme et de continuité (incluant ceux d’Archimède et de Cantor). Dans une formulation restée célèbre, il affirme plaisamment que l’on pourrait remplacer « point, droite, plan » par « chaise, table, chope de bière » — soulignant ainsi que la structure axiomatique définit les objets mathématiques par leurs relations mutuelles, indépendamment de toute intuition géométrique préalable.

Cette approche formaliste transforme la géométrie en théorie purement logique. Les questions cruciales deviennent l’indépendance et la cohérence des systèmes axiomatiques. Hilbert montre que la cohérence de la géométrie se réduit à celle de l’analyse réelle, transférant ainsi le problème vers l’arithmétique et l’analyse.

L’apogée : les problèmes de Hilbert et la vision programmatique

Le Congrès de Paris et les 23 problèmes

Le 8 août 1900, lors du deuxième Congrès international des mathématiciens réuni à Paris, Hilbert prononce une conférence restée anthologique. Alors que le premier congrès de Zurich en 1897 avait été dominé par la présentation de Poincaré sur les rapports entre analyse pure et physique mathématique, Hilbert choisit une approche différente : il ne présente aucun théorème nouveau, aucun résultat spectaculaire.

Au lieu de cela, il pose 23 problèmes à la communauté mathématique mondiale, problèmes qu’il considère comme les plus importants pour orienter la recherche du siècle à venir. Hermite, impressionné, déclare que l’on n’entendra plus dans les congrès de conférences pareilles. La plupart de ces problèmes se situent effectivement au cœur des recherches ultérieures. Trois demeurent ouverts à ce jour.

Nature et portée des problèmes

Les problèmes couvrent un spectre remarquablement large : théorie des ensembles (hypothèse du continu, problème du bon ordre), théorie des nombres (hypothèse de Riemann sur la fonction zêta, conjecture de Goldbach), géométrie (axiomatisation des géométries métriques), analyse (équations différentielles et calcul des variations), fondements (cohérence de l’arithmétique, décidabilité).

Certains reçoivent des solutions complètes, d’autres partielles, quelques-uns s’avèrent indécidables dans les systèmes formels considérés. Le dixième problème, concernant l’existence d’un algorithme pour résoudre les équations diophantiennes, est démontré indécidable en 1970 par Youri Matiyasevich, s’appuyant sur les travaux de Martin Davis, Hilary Putnam et Julia Robinson. Le huitième, l’hypothèse de Riemann, figure parmi les sept problèmes du millénaire de l’institut Clay.

Formation d’une école et rayonnement international

À Göttingen, Hilbert dirige 69 thèses de doctorat. Parmi ses étudiants figurent des mathématiciens qui marqueront profondément le XXᵉ siècle : Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), ainsi que le champion d’échecs Emanuel Lasker. John von Neumann sera son assistant.

Le cercle social de Hilbert réunit les esprits mathématiques les plus brillants de l’époque. Emmy Noether, Alonzo Church, et bien d’autres participent aux séminaires réguliers. L’Institut de mathématiques devient le lieu où se forgent les concepts qui structureront la discipline pendant des décennies. Étudiants et chercheurs affluent du monde entier pour bénéficier de cet environnement intellectuel exceptionnel.

L’analyse fonctionnelle et les espaces de Hilbert

Les équations intégrales et l’émergence d’une théorie nouvelle

Dès 1909, Hilbert se consacre à l’étude systématique des équations différentielles et intégrales. Pour traiter rigoureusement ces objets, il introduit le concept d’espaces euclidiens de dimension infinie, ultérieurement baptisés espaces de Hilbert. Ces espaces, dotés d’un produit scalaire permettant de mesurer longueurs et angles, généralisent la géométrie euclidienne classique à des dimensions infinies.

Frigyes Riesz et Erhard Schmidt contribuent simultanément au développement de cette théorie. En 1913, Riesz publie Les Systèmes d’équations linéaires à une infinité d’inconnues, première monographie d’analyse fonctionnelle. Le livre contient notamment une démonstration simple du théorème spectral de Hilbert et des méthodes de calcul sur les opérateurs linéaires continus.

Applications à la physique quantique

De façon inattendue, les espaces de Hilbert deviennent l’outil fondamental de la mécanique quantique naissante. Dans les années 1920 et 1930, Hermann Weyl et John von Neumann s’appuient sur ces structures pour établir l’équivalence mathématique entre la mécanique matricielle de Heisenberg et l’équation d’onde de Schrödinger.

En 1926, von Neumann démontre que les états quantiques, représentés comme vecteurs dans un espace de Hilbert, unifient les deux formulations apparemment distinctes de la théorie quantique. L’espace de Hilbert fournit le cadre mathématique dans lequel s’expriment les principes de superposition et d’intrication quantiques. Le formalisme devient standard, permettant le calcul des probabilités de mesure et l’évolution temporelle des systèmes quantiques.

Cette application valide spectaculairement la vision de Hilbert selon laquelle des concepts mathématiques abstraits, développés pour leur cohérence interne, trouvent ensuite des applications physiques insoupçonnées.

Physique mathématique et relativité générale

Le séminaire de 1905 et l’intérêt pour la physique

Jusqu’en 1912, Hilbert se consacre exclusivement aux mathématiques pures. Minkowski semble responsable de ses premières incursions en physique théorique, notamment lors de leur séminaire conjoint de 1905. À partir de 1912, Hilbert engage même un « tuteur en physique » pour combler ses lacunes dans le domaine.

Il étudie successivement la théorie cinétique des gaz, la théorie des radiations et la théorie moléculaire. Cette démarche systématique révèle rapidement les insuffisances de rigueur mathématique dans les pratiques des physiciens. Pour Hilbert, habitué à la précision axiomatique, la manipulation approximative des objets mathématiques par les physiciens apparaît non seulement incompréhensible mais esthétiquement déplaisante — il la qualifie de « laide ». Il formule cette critique avec une pointe d’ironie : « La physique est trop difficile pour les physiciens. »

Collaboration avec Einstein et l’action d’Einstein-Hilbert

En juin 1915, Hilbert invite Einstein à Göttingen pour une série de conférences sur la relativité générale. Einstein reçoit un accueil enthousiaste et expose les grandes lignes de sa théorie, sans avoir encore achevé la formulation mathématique complète. Hilbert, fasciné, se lance immédiatement dans le travail.

Durant l’été et l’automne 1915, une course s’engage. Einstein apprend que Hilbert travaille aussi sur les équations de champ et redouble d’efforts. En novembre 1915, Einstein publie plusieurs articles culminant avec « Les équations de champ de la gravitation ». Presque simultanément, Hilbert publie « Les fondements de la physique », dérivation axiomatique des équations de champ (aujourd’hui connue sous le nom d’action d’Einstein-Hilbert).

Aucune dispute de priorité publique n’éclate entre les deux hommes de leur vivant. Hilbert reconnaît pleinement Einstein comme l’inventeur de la théorie. Cette collaboration illustre la capacité de Hilbert à s’approprier rapidement des domaines nouveaux et à y appliquer sa maîtrise de la méthode axiomatique.

Le combat pour l’égalité intellectuelle : le cas Emmy Noether

L’invitation de 1915 et les obstacles institutionnels

En 1915, Hilbert et Klein invitent Emmy Noether, mathématicienne de premier ordre spécialisée dans la théorie des invariants, à rejoindre Göttingen. Le département de mathématiques, décimé par la guerre, a besoin de talents. Dès son arrivée, Noether postule pour l’habilitation, qualification nécessaire pour enseigner officiellement.

La faculté de philosophie, dont dépend administrativement le département de mathématiques, s’oppose fermement. Un collègue proteste : « Qu’en penseront nos soldats lorsqu’ils reviendront à l’université et découvriront qu’ils doivent apprendre aux pieds d’une femme ? » Selon Pavel Alexandrov, l’opposition combine sexisme, hostilité aux opinions social-démocrates de Noether et antisémitisme.

La riposte de Hilbert et la solution provisoire

Hilbert, indigné par ces préjugés, réplique avec véhémence. Ses mots exacts ne sont pas conservés, mais sa protestation inclut une remarque devenue célèbre : « Je ne vois pas en quoi le sexe de la candidate constituerait un argument contre son admission comme Privatdozent. Après tout, nous sommes une université, pas des bains publics. »

Face au refus persistant, Hilbert contourne l’interdiction : il annonce des cours à son nom avec « l’assistance » de Noether, mais seule Emmy assure effectivement l’enseignement. Elle n’est ni rémunérée ni officiellement reconnue. Cette situation absurde perdure jusqu’en 1919, lorsque la république de Weimar autorise enfin les femmes à passer l’habilitation.

Le théorème de Noether et la relativité générale

Entre-temps, Noether accomplit une percée majeure. En 1916, Einstein écrit à Hilbert demandant de l’aide pour comprendre la conservation de l’énergie en relativité générale. En 1918, Einstein réitère sa confiance dans les capacités d’Emmy : « Il suffirait évidemment que vous chargiez Mlle Noether de me l’expliquer. »

Noether publie alors Invariante Variationsprobleme (Problèmes variationnels invariants), article dans lequel elle démontre que toute symétrie continue du lagrangien d’un système physique correspond à une loi de conservation. Ce résultat, connu comme le théorème de Noether, unifie et généralise toutes les lois de conservation classiques. Son application dépasse largement la relativité générale pour englober toute la physique théorique moderne.

L’engagement de Hilbert en faveur de Noether témoigne de sa conviction profonde que seule la compétence mathématique importe, indépendamment du genre ou de l’origine. Cette position, progressiste pour l’époque, s’inscrit dans sa vision universaliste de la science.

Le programme formaliste et les fondements des mathématiques

Opposition à l’« Ignorabimus » et au pessimisme scientifique

Les conceptions philosophiques de Hilbert s’opposent frontalement au pessimisme scientifique prôné notamment par le physiologiste Emil du Bois-Reymond. Celui-ci défend la doctrine de l’« Ignorabimus » (du latin « nous ne savons pas et nous ne saurons jamais »), affirmant l’existence de questions scientifiques éternellement insolubles.

Hilbert rejette catégoriquement cette position. Pour lui, « il n’y a pas d’Ignorabimus en sciences naturelles ». En 1930, dans son allocution de retraite devant la Société des scientifiques et médecins allemands, il formule son credo scientifique en une formule restée célèbre : « Wir müssen wissen. Wir werden wissen » (Nous devons savoir. Nous saurons). Ces mots figureront plus tard sur sa tombe à Göttingen.

Élaboration du programme dans les années 1920

Face à la découverte de paradoxes dans la théorie des ensembles de Cantor et dans le système logique de Frege, Hilbert conçoit un programme ambitieux pour assurer les fondements des mathématiques. Les prémisses apparaissent dès 1900 dans l’introduction à sa liste de problèmes ; le deuxième problème concerne précisément la cohérence de l’arithmétique.

Dans les années 1920, Hilbert développe systématiquement ce programme avec ses collaborateurs, notamment Paul Bernays et Wilhelm Ackermann. L’idée fondamentale repose sur une distinction entre méthodes finitaires et objets idéaux : tant que l’on manipule des entités finies, les mathématiques sont sûres ; pour justifier l’utilisation d’objets abstraits ou infinis, il suffit de démontrer la cohérence de la théorie qui les emploie, pourvu que cette démonstration s’effectue par des moyens finitaires.

Publication des Grundlagen der Mathematik

Hilbert et Bernays exposent systématiquement leur approche dans les Grundlagen der Mathematik (Fondements des mathématiques), ouvrage monumental publié en deux volumes en 1934 et 1939. Le livre présente leurs recherches en théorie de la preuve ainsi qu’un large éventail de résultats contemporains, incluant les théorèmes de Herbrand et les théorèmes d’incomplétude de Gödel.

Certains sujets spécialisés y sont également traités : développement de l’analyse mathématique et indécidabilité du problème de la décision. L’ouvrage constitue la synthèse définitive du programme hilbertien, même si, au moment de sa publication, les théorèmes de Gödel ont déjà démontré l’impossibilité d’achever le programme dans sa forme originelle.

Le conflit avec l’intuitionnisme

Brouwer et la remise en cause radicale

Simultanément au développement du formalisme hilbertien, le mathématicien néerlandais Luitzen Brouwer élabore l’intuitionnisme, philosophie mathématique radicalement opposée. Brouwer conteste le tiers exclu — principe logique affirmant qu’une proposition est soit vraie soit fausse — dès lors qu’il s’applique à l’infini.

Pour les intuitionnistes, une preuve d’existence doit être constructive, effective. Démontrer qu’une proposition est vraie en montrant que sa négation entraînerait une contradiction ne suffit pas. Cette position remet en cause des pans entiers des mathématiques classiques, notamment l’analyse réelle et la théorie des ensembles.

La controverse de 1921 et l’éviction de Brouwer

En 1921, Hermann Weyl, élève brillant de Hilbert, publie Über die neue Grundlagenkrise in der Mathematik (Sur la nouvelle crise des fondements des mathématiques), adoptant le point de vue intuitionniste. Cette défection blesse profondément Hilbert, qui voit son ancien disciple séduit par une philosophie qu’il considère comme destructrice pour les mathématiques.

Weyl proclame : « Brouwer — c’est la révolution ! » Hilbert voit dans l’intuitionnisme une menace existentielle pour l’édifice mathématique construit depuis des siècles. La controverse s’envenime. En 1928, profitant d’un prétexte formel (incompatibilité de conceptions sur des questions fondamentales), Hilbert réussit à évincer Brouwer de la rédaction des Mathematische Annalen, revue allemande de mathématiques la plus prestigieuse.

Les raisons sont multiples : au-delà du désaccord philosophique, Brouwer, bien que Néerlandais, adopte des positions nationalistes allemandes qui déplaisent à Hilbert, internationaliste convaincu. La polémique s’apaise progressivement. En 1930, Weyl renonce finalement à l’intuitionnisme strict, jugeant ses restrictions excessives, et se rapproche des positions de Hilbert.

Les théorèmes de Gödel et l’échec du programme

L’annonce de 1930 et le choc

Le jour précédant le discours de retraite de Hilbert où il prononce son « Nous devons savoir, nous saurons », Kurt Gödel, lors de la Conférence sur l’épistémologie des sciences exactes tenue conjointement avec la réunion de la Société des scientifiques et médecins allemands, annonce timidement la première expression de son théorème d’incomplétude.

Le théorème, publié en 1931, établit que dans tout système formel cohérent suffisamment puissant pour contenir l’arithmétique, il existe des propositions vraies mais indémontrables dans le système. Le second théorème affirme qu’un tel système ne peut démontrer sa propre cohérence.

Conséquences pour le programme hilbertien

Ces résultats ruinent le programme de Hilbert dans sa forme initiale. L’ambition de démontrer la cohérence des mathématiques par des méthodes finitaires formalisées s’avère irréalisable. On ne peut même pas prouver dans l’arithmétique sa propre cohérence, encore moins celle de théories plus fortes.

Peu de mathématiciens comprennent immédiatement la portée de ces théorèmes. John von Neumann, très impliqué dans les recherches sur les fondements, avoue plus tard n’avoir jamais imaginé à l’époque qu’un tel échec fût possible. Il en tire une grande admiration pour Gödel… et abandonne presque toutes ses recherches sur les fondements des mathématiques.

Réinterprétations et héritage

Gerhard Gentzen, étudiant de Hilbert, propose en 1936 une preuve de cohérence de l’arithmétique de Peano dans un système forcément plus fort, utilisant l’induction sur un ordre bien fondé dénombrable mais supérieur à celui des entiers. L’induction reste cependant restreinte à des formules sans quantificateurs.

L’interprétation philosophique de ces preuves de cohérence relative demeure controversée. Malgré l’échec du programme dans sa version originale, l’entreprise hilbertienne joue un rôle décisif dans le développement de la logique mathématique moderne. La théorie de la preuve, la théorie des modèles et la théorie de la récursion émergent directement des questions posées par Hilbert.

Retraite et destruction de l’Institut de Göttingen

La succession de 1930

En 1930, Hilbert prend sa retraite. Hermann Weyl, réconcilié avec son ancien maître, lui succède à la chaire de mathématiques de Göttingen. L’Institut jouit alors d’un prestige mondial inégalé. Le corps professoral réunit les plus grands noms : Weyl lui-même, Edmund Landau, Emmy Noether, Richard Courant. Des étudiants du monde entier affluent pour bénéficier de cet environnement intellectuel exceptionnel.

En 1933, un nouveau bâtiment, construit grâce à une importante subvention de la fondation Rockefeller obtenue par l’habileté de Courant, accueille les activités de l’Institut. Tout semble promis à un avenir radieux.

Les purges nazies de 1933

L’arrivée au pouvoir des nazis en janvier 1933 brise brutalement cette efflorescence. La loi sur le rétablissement de la fonction publique professionnelle d’avril 1933 mandate le renvoi des Juifs de la fonction publique, y compris les professeurs d’université, sauf s’ils servaient déjà avant la Première Guerre mondiale ou ont combattu au front durant le conflit.

Parmi les six professeurs titulaires de chaire, deux seulement ne sont pas juifs : Hilbert et Gustav Herglotz. Weyl, dont l’épouse est juive, accepte rapidement un poste à l’Institute for Advanced Study de Princeton. Bernstein, Courant et Noether sont mis en congé forcé. Emmy Noether est révoquée définitivement et émigre aux États-Unis pour enseigner au Bryn Mawr College. Elle meurt prématurément en 1935.

L’atmosphère antisémite et le boycott de Landau

Edmund Landau, protégé par son ancienneté et son service militaire, conserve initialement son poste. Mais l’atmosphère à Göttingen devient intolérablement antisémite. En mars 1933, des boycotts de commerces juifs s’accompagnent de violences de la SA. Sur « recommandation » du ministère, Landau cesse d’enseigner son cours de calcul, confié à son assistant Werner Weber, fervent national-socialiste.

Landau insiste néanmoins pour préparer le cours et, durant chaque séance, attend dans son bureau, comme si les roues du destin allaient tourner en sens inverse. En novembre 1933, il tente de reprendre personnellement son cours. Les étudiants organisent un boycott avec des gardes de la SA postés aux portes. Forcé de reculer, Landau reçoit le 2 novembre une lettre d’Oswald Teichmüller expliquant formellement pourquoi les étudiants ne le jugent pas « apte à enseigner ».

La réponse de Hilbert et l’effondrement

Environ un an après les purges, Hilbert assiste à un banquet où il est placé à côté du nouveau ministre de l’Éducation, Bernhard Rust. Rust demande : « Comment vont les mathématiques à Göttingen maintenant qu’elles ont été libérées de l’influence juive ? » Hilbert répond : « Les mathématiques à Göttingen ? Il n’y en a vraiment plus. »

Cette réponse lapidaire résume l’ampleur du désastre. En 1933, dix-huit mathématiciens quittent ou sont chassés de la faculté de l’Institut de mathématiques de Göttingen. Seul un professeur titulaire d’avant l’ère nazie reste après 1934. Le département se désintègre en quelques mois. Entre 1931 et 1939, le nombre d’étudiants en mathématiques en Allemagne chute de plus de 7000 à environ 1250.

Le centre mondial des mathématiques s’est éteint. Son héritage migre vers Princeton, New York et d’autres universités américaines et britanniques. En 1943, seize anciens membres de la faculté de Göttingen se trouvent aux États-Unis. Hilbert assiste, impuissant et vieillissant, à cette destruction méthodique de l’œuvre de toute une vie.

Mort et postérité intellectuelle

Les dernières années

Hilbert meurt le 14 février 1943 à Göttingen, âgé de 81 ans. Ses funérailles, en pleine guerre et dans un contexte de terreur nazie, rassemblent peu de monde. L’Institut qu’il a contribué à bâtir n’existe plus que comme ombre de lui-même. Sur sa tombe, on grave son credo scientifique : « Wir müssen wissen. Wir werden wissen. »

Cette formule, prononcée en 1930 dans un contexte d’optimisme scientifique, prend rétrospectivement une résonance tragique. Le lendemain même de ce discours, Gödel annonçait ses théorèmes d’incomplétude. Trois ans plus tard, les nazis détruisaient l’Institut de Göttingen. Le savoir et la raison que Hilbert célébrait semblaient vaincus par l’ignorance et la barbarie.

Influence sur la logique mathématique et la philosophie analytique

Malgré l’échec de son programme formaliste dans sa forme originelle, l’entreprise de Hilbert façonne profondément la logique mathématique du XXᵉ siècle. La théorie de la preuve, inaugurée par Hilbert et développée par Gentzen, devient une discipline autonome. Les méthodes finitaires qu’il préconise inspirent le développement du constructivisme mathématique.

La philosophie analytique hérite directement de ses questionnements sur les fondements du langage mathématique, la nature de la vérité formelle et les limites de la démonstration. L’école de philosophie des mathématiques se structure autour des trois positions qu’il contribue à cristalliser : logicisme (Frege, Russell), intuitionnisme (Brouwer), formalisme (Hilbert lui-même).

Héritage mathématique et physique

Les concepts introduits par Hilbert imprègnent les mathématiques contemporaines. Les espaces de Hilbert constituent l’outil fondamental de l’analyse fonctionnelle et de la mécanique quantique. La méthode axiomatique qu’il systématise devient le standard de rigueur mathématique. Ses 23 problèmes orientent effectivement la recherche du XXᵉ siècle ; plusieurs demeurent au cœur des préoccupations actuelles.

En physique mathématique, l’action d’Einstein-Hilbert reste centrale en relativité générale. Les techniques d’axiomatisation qu’il développe influencent la formulation de toutes les théories physiques modernes. Le formalisme de la mécanique quantique repose entièrement sur les structures qu’il a contribué à élaborer.

Actualité de la pensée hilbertienne

La tension entre constructivisme et méthodes d’existence pure demeure vivace en mathématiques contemporaines. Les questions soulevées par Hilbert sur la nature de la vérité mathématique, les limites de la formalisation et le rôle de l’intuition traversent toute la philosophie des mathématiques du XXᵉ siècle jusqu’à aujourd’hui.

L’informatique théorique, la théorie de la complexité et les fondements de l’intelligence artificielle héritent directement des problématiques hilbertiennes sur la décidabilité et la calculabilité. La théorie des types, les assistants de preuve et la vérification formelle prolongent son programme de formalisation rigoureuse.

L’optimisme épistémologique de Hilbert — sa conviction qu’aucun problème bien posé ne doit rester éternellement insoluble — inspire encore la recherche mathématique, même si Gödel a montré les limites intrinsèques de toute formalisation. Son héritage réside moins dans la réussite complète de son programme que dans la richesse des concepts, méthodes et questions qu’il a légués. Figure de transition entre le XIXᵉ et le XXᵉ siècle, Hilbert incarne à la fois l’achèvement d’une époque d’optimisme rationaliste et l’ouverture vers les questionnements méta-mathématiques qui structurent la pensée contemporaine.