Un pré contient deux vaches. Contient-il également une paire de vaches ? Si oui, le pré contient alors trois choses : la vache 1, la vache 2, et la paire formée par les deux vaches. Cette conclusion semble absurde. Pourtant, nous parlons quotidiennement de paires, d’ensembles, de collections. Où se situe l’erreur ?
Ce problème constitue bien plus qu’un jeu de mots. Il interroge frontalement notre ontologie ordinaire, c’est-à-dire l’inventaire de ce qui existe réellement. La question du statut des collections est présente dans toute l’histoire de la philosophie, depuis la querelle des universaux au Moyen Âge jusqu’aux débats contemporains en philosophie des mathématiques. Elle engage notre compréhension du langage, de la référence et de la vérité.
Les racines médiévales : la querelle des universaux
Pour saisir la profondeur du problème, il faut remonter au débat médiéval sur les universaux. Guillaume d’Ockham, au XIVe siècle, défend une position nominaliste radicale dans sa Summa Logicae. Selon lui, seuls les individus particuliers existent réellement. Les termes généraux comme « vache » ou « paire » ne désignent rien d’autre que des conventions linguistiques permettant de regrouper des individus sous un même mot. Lorsque nous disons « la paire de vaches », nous ne référons pas à une troisième entité flottant mystérieusement au-dessus des deux vaches individuelles. Nous utilisons simplement un terme commode pour parler simultanément de deux individus.
Cette économie ontologique — résumée par le célèbre « rasoir d’Ockham » — refuse de multiplier les êtres au-delà du nécessaire. Si deux vaches suffisent à rendre compte de tous les faits observables du pré, pourquoi postuler l’existence d’une mystérieuse « pairité » ? Pour Ockham, affirmer que le pré contient trois choses relève d’une confusion entre le langage et la réalité. Nous projetons la structure de nos phrases sur le monde lui-même.
Contrairement à Ockham, Thomas d’Aquin adopte une position réaliste modérée. Dans son De Ente et Essentia, il distingue différents modes d’existence. Les vaches individuelles existent en acte (in actu), tandis que la collection existe d’une autre manière, comme une relation entre ces individus. Thomas ne nie pas que parler de « paire » ait un sens, mais ce sens ne requiert pas d’ajouter un nouvel objet à l’inventaire du monde. La paire n’existe pas comme existent les vaches, mais comme existe une relation — ce qui constitue un mode d’être distinct mais non moins réel.
La reformulation moderne : ensembles et agrégats
Le problème resurgit avec force au XXe siècle dans le contexte de la philosophie analytique. Willard Van Orman Quine, dans On What There Is (1948), développe un critère d’engagement ontologique devenu classique : « Être, c’est être la valeur d’une variable. » Selon ce critère, nous nous engageons ontologiquement envers les entités sur lesquelles nos théories les plus fondamentales sont capables de s’exercer. Si notre meilleure théorie mathématique utilise des ensembles, alors les ensembles existent.
Appliqué à notre problème, le critère semble autoriser l’existence de la paire. En mathématiques, {vache1, vache2} constitue un ensemble bien défini, distinct de ses éléments. Quine accepte donc un engagement ontologique envers les ensembles, mais il distingue soigneusement entre l’ontologie de nos théories scientifiques et le langage ordinaire. Notre discours quotidien sur les paires ne nous engage pas nécessairement envers des entités supplémentaires, car ce discours peut être reformulé sans perte en termes d’individus et de prédicats.
Poursuivant cette réflexion, David Lewis développe dans Parts of Classes (1991) une analyse méréologique raffinée. La méréologie — la théorie des parties et des tous — permet de distinguer les collections authentiques des simples façons de parler. Pour Lewis, une paire de vaches ne constitue pas un nouvel objet, mais simplement la somme méréologique de deux vaches. Cette somme n’ajoute rien à ce qui existe déjà. Dire « il y a une paire » revient à dire « il y a deux vaches qui sont toutes les parties pertinentes de leur somme. » Le langage des paires s’élimine ainsi en faveur du langage des parties individuelles.
L’illusion du double comptage
Le cœur du problème réside dans ce que nous pourrions appeler l’illusion du double comptage. Nous comptons : une vache, deux vaches. Puis nous ajoutons : et une paire de vaches, soit trois choses. Cette addition suppose implicitement que les paires existent au même titre et de la même manière que leurs éléments. Peter van Inwagen, dans Material Beings (1990), démonte méticuleusement cette supposition.
Van Inwagen distingue entre compter des objets et compter des concepts sous lesquels tombent ces objets. Nous pouvons dire qu’il y a deux vaches dans le pré, et nous pouvons également dire qu’il y a une paire dans le pré. Mais ces deux affirmations ne s’additionnent pas pour former « trois choses. » Elles décrivent le même état de fait sous des descriptions différentes. Affirmer que le pré contient trois choses revient à confondre le niveau des objets avec le niveau des descriptions.
Cette confusion apparaît clairement dans l’analyse du langage ordinaire. Lorsque quelqu’un demande « combien de choses y a-t-il dans le pré ? », la réponse appropriée dépend du contexte. Si nous inventorions les animaux pour un fermier, nous répondons « deux vaches. » Si nous enseignons les concepts d’ensemble à des étudiants en utilisant le pré comme exemple, nous pourrions énumérer : l’ensemble vide, deux singletons, une paire, et potentiellement d’autres constructions mathématiques. Mais ces différentes réponses ne correspondent pas à des inventaires ontologiques concurrents du même domaine. Elles reflètent différentes questions posées avec différents critères d’identité.
Les implications pour la philosophie des mathématiques
Ce problème apparemment simple engage des enjeux considérables pour la philosophie des mathématiques. Le nominaliste Hartry Field, dans Science Without Numbers (1980), tente de reformuler la physique sans référence aux nombres ni aux ensembles. Son projet repose précisément sur l’idée que les entités mathématiques abstraites — dont les ensembles et les paires — constituent des ajouts superflus à notre ontologie. Si nous pouvons exprimer toutes les vérités physiques sans mentionner de nombres, alors le rasoir d’Ockham nous enjoint de les éliminer.
Rompant avec cette austérité nominaliste, le platonisme mathématique défend l’existence objective des entités mathématiques. Pour Kurt Gödel, dans son article « What is Cantor’s Continuum Problem? » (1947), les ensembles existent de manière aussi réelle que les objets physiques, bien que dans un domaine différent. La paire {vache1, vache2} existe objectivement dans le monde platonicien des mathématiques, indépendamment des vaches particulières qui en constituent les éléments. Cette position accepte donc que le pré contienne bien trois choses, mais trois choses de natures ontologiques différentes : deux objets physiques et un objet mathématique.
Entre ces extrêmes, Penelope Maddy propose dans Realism in Mathematics (1990) un naturalisme mathématique qui ancre les ensembles dans la perception. Nous percevons directement de petites collections — une paire de vaches, un trio de pommes. Ces perceptions fondent notre compréhension intuitive des ensembles, qui se développe ensuite en théorie mathématique sophistiquée. Pour Maddy, la question « combien de choses ? » n’admet pas de réponse unique, car nos pratiques de comptage varient légitimement selon les contextes.
Les conséquences pratiques et linguistiques
Au-delà de ces débats métaphysiques relativement abstraits, ce problème prend du sens dans notre compréhension du langage et de la communication ordinaire. Ludwig Wittgenstein, dans ses Investigations Philosophiques (1953), aurait probablement diagnostiqué ici une confusion née d’un mauvais usage du langage. Demander « combien de choses ? » sans spécifier de critères d’identité revient à poser une pseudo-question. Le langage fonctionne dans des jeux de langage particuliers, avec des règles spécifiques. Dans le jeu de langage de l’éleveur, « deux » constitue la bonne réponse. Dans celui du mathématicien, d’autres réponses deviennent pertinentes.
Cette pluralité des jeux de langage n’implique pas de relativisme ontologique débridé. Certains contextes imposent des contraintes objectives. Si nous voulons nourrir les animaux, seul le nombre de vaches individuelles importe. L’ensemble {vache1, vache2} ne mange pas d’herbe. Cette asymétrie causale suggère une priorité ontologique des individus sur les collections. Les vaches peuvent exister sans que nous formions leur ensemble, mais l’ensemble ne peut exister sans les vaches.
Gilbert Ryle, dans The Concept of Mind (1949), identifie ce type d’erreur comme une « erreur de catégorie. » Traiter la paire comme une chose du même type que les vaches individuelles revient à confondre des catégories logiques distinctes. C’est comme demander : « J’ai visité les collèges, les bibliothèques, les laboratoires d’Oxford. Mais où se trouve l’Université ? » L’Université n’est pas une chose supplémentaire à côté des bâtiments, mais une manière d’organiser ces bâtiments. De même, la paire n’est pas une chose supplémentaire à côté des vaches, mais une manière de considérer ces vaches.
L’ontologie contestée du quotidien
Ce débat apparemment technique possède des ramifications surprenantes. Il questionne notre inventaire ontologique ordinaire. Combien d’objets contient votre bureau ? Comptons-nous chaque feuille de papier individuellement, ou la pile comme un seul objet ? Et qu’en est-il des atomes constituant ces feuilles ? L’ordinateur forme-t-il un objet unique ou une collection de composants ?
L’ontologie sociale contemporaine, développée par John Searle dans The Construction of Social Reality (1995), révèle des complexités supplémentaires. Une équipe de football contient onze joueurs. Contient-elle également l’équipe elle-même comme entité distincte ? Cette question ne se réduit pas au problème des vaches, car l’équipe possède des propriétés (un classement, une réputation, une stratégie collective) qu’aucun joueur individuel ne possède. L’ontologie sociale semble requérir des entités collectives irréductibles aux individus, contrairement aux simples agrégats physiques.
Une fausse évidence dévoilée
Revenons à notre question initiale. Qu’y a-t-il de faux dans l’affirmation qu’un pré contient trois choses ? Plusieurs réponses coexistent. Le nominaliste soutient que seules deux vaches existent, et que parler de « paire » relève d’une commodité linguistique ne référant à rien de supplémentaire. Le platoniste mathématique accepte que trois entités existent, mais de natures différentes. Le wittgensteinien diagnostique une question mal posée, nécessitant une clarification des critères d’identité pertinents.
L’erreur ne réside pas dans la reconnaissance que nous utilisons le terme « paire », ni dans le refus de considérer ce terme comme référant à une entité supplémentaire. Elle réside dans l’idée qu’une réponse unique et absolue s’impose. Notre langage permet de décrire le même état de fait de multiples manières, selon nos intérêts théoriques ou pratiques. Exiger une ontologie unique et définitive revient à ignorer la multiplicité légitime de nos pratiques descriptives.
Certains contextes imposent des réponses déterminées. Pour nourrir les animaux, seul le nombre de vaches importe. Pour développer la théorie des ensembles, nous devons accepter l’existence des collections mathématiques. Mais ces engagements ontologiques restent relatifs à des domaines de discours spécifiques, et rien ne nous oblige à les fondre en une ontologie universelle unique.
Le pré contient donc bien trois choses : deux vaches, et une paire, mais ces trois choses n’appartiennent pas au même contexte de réponse. D’autant plus si l’une des vaches est en réalité un imposteur; par exemple un Alien déguisé en vache pour mieux nous espionner.
