Définition et origine
Le théorème de Bayes est une formule mathématique qui permet de calculer la probabilité d’un événement conditionnellement à la réalisation d’un autre événement. Plus précisément, il établit la relation entre la probabilité conditionnelle d’un événement A sachant B et la probabilité conditionnelle de B sachant A.
La formule s’exprime ainsi : P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B)
Où P(A|B) représente la probabilité de A sachant que B est réalisé, P(B|A) la probabilité de B sachant A, P(A) la probabilité a priori de A, et P(B) la probabilité totale de B.
Le théorème tire son nom du révérend Thomas Bayes (1702-1761), mathématicien et théologien presbytérien anglais qui formula ce principe dans un essai publié à titre posthume en 1763. Le mathématicien français Pierre-Simon de Laplace développa indépendamment et systématisa cette approche au début du XIXe siècle, établissant les fondements de ce qu’on appellera la statistique bayésienne.
Application en épistémologie
Le théorème de Bayes occupe une place centrale en épistémologie contemporaine, où il fournit un modèle formel pour comprendre comment les croyances rationnelles doivent être révisées face à de nouvelles preuves. L’épistémologie bayésienne considère que nos croyances peuvent être représentées par des degrés de confiance ou probabilités subjectives, et que le théorème de Bayes prescrit comment ces degrés doivent être mis à jour.
Dans cette perspective, P(A) représente notre croyance initiale (probabilité a priori) dans une hypothèse H avant d’observer une nouvelle preuve E. P(H|E) représente notre croyance révisée (probabilité a posteriori) après avoir pris en compte cette preuve. Le théorème nous indique comment passer rationnellement de l’une à l’autre.
Par exemple, imaginons un médecin qui évalue la probabilité qu’un patient soit atteint d’une maladie rare. La probabilité a priori (avant tout test) pourrait être très faible, disons 0,1%. Si un test diagnostique est positif, le théorème de Bayes permet de calculer la probabilité réelle que le patient soit malade, en tenant compte non seulement du résultat du test, mais aussi de la fiabilité de ce test et de la prévalence de la maladie dans la population.
Philosophie des sciences
En philosophie des sciences, le théorème de Bayes offre un cadre pour analyser la confirmation des théories scientifiques. Lorsqu’une prédiction théorique est vérifiée par l’observation, cela augmente la probabilité de la théorie. Inversement, des observations contraires diminuent sa probabilité.
Cette approche permet de formaliser l’intuition selon laquelle une théorie est d’autant plus confirmée que ses prédictions sont audacieuses et spécifiques. Si une théorie prédit un phénomène très improbable selon les connaissances antérieures, et que ce phénomène est observé, la théorie gagne considérablement en crédibilité.
Colin Howson et Peter Urbach, dans leur ouvrage Scientific Reasoning: The Bayesian Approach (1989), défendent l’idée que l’inférence bayésienne fournit le meilleur modèle normatif du raisonnement scientifique. Ils montrent comment le théorème résout plusieurs paradoxes classiques de la confirmation, comme le paradoxe des corbeaux d’Hempel.
Débats et limites
L’approche bayésienne fait l’objet de débats philosophiques importants. Une première difficulté concerne la détermination des probabilités a priori. Comment établir objectivement la probabilité initiale d’une hypothèse avant toute observation? Les bayésiens subjectivistes, comme Bruno de Finetti et Leonard Savage, acceptent que ces probabilités reflètent des degrés de croyance personnels, pourvu qu’elles soient cohérentes et révisées selon le théorème.
D’autres philosophes, comme les fréquentistes, rejettent cette dimension subjective et privilégient une interprétation des probabilités en termes de fréquences objectives dans des séries d’événements répétables. Karl Popper, pour sa part, critiquait l’approche inductive implicite dans le raisonnement bayésien, lui préférant sa méthode de falsification.
Un autre défi porte sur le problème dit du « zéro rigide » : si une hypothèse reçoit une probabilité a priori nulle, aucune preuve ultérieure ne pourra jamais la confirmer. Cela pose question quant à l’ouverture du raisonnement bayésien aux révolutions scientifiques radicales.
Influence contemporaine
Malgré ces débats, l’influence du théorème de Bayes s’étend aujourd’hui bien au-delà de la philosophie des probabilités. En philosophie de l’esprit, certains chercheurs comme Jakob Hohwy proposent que le cerveau fonctionne comme une « machine bayésienne », formant constamment des prédictions et les révisant face aux données sensorielles.
En éthique, le raisonnement bayésien informe les discussions sur la prise de décision en contexte d’incertitude. En philosophie du langage et en logique informelle, il éclaire la manière dont nous interprétons le discours d’autrui et révisons nos interprétations.
Le théorème de Bayes représente ainsi l’un des outils formels les plus puissants pour modéliser la rationalité épistémique, même si son application philosophique continue de susciter des discussions fécondes sur la nature de la justification, de la preuve et de la révision rationnelle des croyances.
